円周率が3.25より小さいことを証明せよ
中学～高校レベルで証明してください
1.73^2=2.9929<3より、1.73<√3・・・①である。
また、tan15°=√((sin15°)^2/(cos15°)^2)=√((1-cos30°)/(1+cos30°))=√((2-√3)/(2+√3))=√((2-√3)^2)=2-√3・・・②である。
弧ABをもつ半径1,中心角15°,面積Sの扇形AOBを考える。また、半直線OB上にAC⊥AOとなるように点Cをとり、面積Tの直角三角形OACを考える。
S=1^2×π×15/360=π/24・・・③,T=1×tan15°×1/2=tan15°/2・・・④であり、図から明らかにS<Tなので、③,④より
π<12×tan15°
が成り立ち、①,②より、
π<12(2-√3)
<12(2-1.73)
=12×0.27
=3.24
<3.25.
よって題意は示された。