問題文

$900$ 個の白丸が円形に並んでいる．ここから次の条件を満たすようにいくつかの丸 ($1$ つ以上) を黒く塗る方法は何通りあるか？

• 黒く塗られた丸がランダムで一つ選ばれ，また $1$ 以上 $450$ 以下の整数 $k$ がランダムで与えられる．この時，これらがどのように選ばれても，選ばれた丸から時計回りと反時計回りに $k$ 個先の丸の少なくとも一方は黒く塗られている．

問題文

$1+2+3+…+20$ 個の白い円を下の図（図では $1+2+3+4$ の場合を表している）のように正三角形状に並べる．次の条件を全て満たすように，いくつかの円を黒く塗る．ただし，段とは水平方向に並ぶ円の集合を指す．

• どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
• 図全体を $120^{\circ}$ 時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
• 図全体を $120^{\circ}$ 反時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．

上から $k$ 段目 $(1\leq k\leq 20)$ 段目には $k$ 個の円がある．条件を全て満たす塗り方のうち，黒い円の個数が最も少なくなるような塗り方は何通りあるか．ただし，回転や裏返しで一致する塗り方も異なるものとして考えるものとする．