writer: Auro / ジャンル: 数学 / 難易度:
$O$ を原点とする座標空間において，点 $(0,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の球面を $S$ とする。
$S$ 上の $x>0,\ y>0,\ z>1$ を満たす部分に点 $P$ をとり，$P$ において球面 $S$ と接する平面を $L$ とする。
また，平面 $L,\ xy$ 平面，$yz$ 平面，$zx$ 平面によって囲まれる部分を $D$ とする。
$D$ の全ての面に内接する球の半径を $r$ として，$r$ のとりうる値の範囲を求めよ。
$r$ はrで表す。根号は「√」を用いる。その他記号は全て半角で入力。
(例) √3<r<5 √3<=r<=5
$O$ を原点とする座標空間において，$xy$ 平面上の $O$ を中心とする半径 $1$ の円を考える。
この円を底面とし，点 $A(0,0,2)$ を頂点とする円錐の表面（底面を含む）を $S$ とする。
$(1)$ 座標空間内の点 $P$ と点 $Q$ が次の条件$(a)$,$(b)$,$(c)$をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲 $V$ の体積を求めよ。
$(a)$ 点 $P$ は $S$ 上にある。
$(b)$ 点 $Q$ は $xy$ 平面上にある。
$(c)$ $OP = PQ$
$(2)$ 点 $B(1,0,0)$ をとる。$S$ を直線 $AB$ の周りに $1$ 回転して得られる回転体 $W$ の体積を求めよ。
$(1)$の解答を$1$行目左端に、$(2)$の解答を$2$行目左端に入力。
ただし、分数や$π$、根号を含む場合次の(入力例)に従うこと。
(入力例) 8/3 π/2 √6π/7 (1+√3)π (6-√2)/2
$O$ を原点とする座標空間において，$2$ 点 $P, Q$ が次の条件をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする。
$K$ の $x^{2}+y^{2}\le 4$ を満たす部分の体積を求めよ。
$(a)$ 点 $P$ は平面 $y=0$ 上にある。
$(b)$ $OP = PQ = 2$
$(c)$ 線分 $PQ$ は平面 $x=0$ に含まれるか，または平行である。
$(d)$ 線分 $PQ$ は $z\ge 0$ を満たす領域に完全に含まれる。
特に指定しません。
問題$O$ を原点とする座標空間において，不等式
$$
x^2 + y^2 > 1,\quad z \ge 0
$$
の表す領域を $E$ とする．
また，$1$ 辺の長さが $3$ である立方体（内部を含む）を $S$ とする．
立方体 $S$ が次の（＊）を満たしながら自由に動くとき，立方体 $S$ の通りうる範囲のうち
$z \ge 0$ の部分 $V$ の体積を求めよ．
（＊）立方体 $S$ と領域 $E$ が共有点を持たない．
1つの項にして解答
・分数を含む場合
分子/分母 のように解答
※分母に根号を含まない形にすること。
・根号を含む場合
記号「√」を用い、「+」,「-」を含むとき根号の中身全体を()でくくる
例 √(2+3√2)
・分子、分母が多項式で表される場合
該当する多項式全体を()でくくる
例 (2+3√2)/2
・πを含む場合
例 √2π 「()」は不要
特に分子にπがあるとき「記号/」の直前にπを記入
例 3√2π/5、(2+3√2)π/2