問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して

$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$

とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

$(2)$　点 $w$ が虚軸上を動くとき，点 $f(w)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

範囲を文章や不等式で表せば可とします。
例)・$3$点$1$,$1+i$,$-1+i$を頂点とする三角形の周及び内部。
・座標平面における不等式 $y\le x^2$が表す領域。

問題文

$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して

$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$

とおく。$\alpha, \beta$ は

$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$

を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。

(1)　$f(1+i)$ がとりうる範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。

(2)　$\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。

(3)　$P(\alpha), Q(\beta)$ とおく。$f(1+i)$ が実数，かつ $f(1), f(i)$ がともに $-2$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき，線分 $PQ$（端点を含む）が通りうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

⑴、⑶については、どんな図形になるかを解答すれば可とします。
例)原点を中心とする半径1の円(周と内部を含む)。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+a z+1
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $|z|\le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $(a, b)$ に関する必要十分条件を求めよ。

$(2)$　$f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

$(2)$について、$f(1+i)$が動きうる図形を説明すれば可とします。