2000 以下の非負整数 a に対し,数列 cn が以下をみたします. c1=a, c2=2000−a, cn+2=cn+1+cn このとき,c24333 が 472 の倍数となるような a としてありうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
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(1) 4 つの実数 (10±√2±4√3)3+1 の和と等しい整数の最大素因数を求めよ. (2) 方程式 (2x2−x)(2x2−7x+6)=7 の実数解 x に対する x5−1x5 の値を求めよ.
(1),(2) の和を半角数字で入力してください.
三角形 ABC があり,以下が成り立っています:
AB=7, ∠A+2∠C=60∘.
いま,辺 BC 上に ∠CAP=3∠BAP をみたす点 P をとり,さらに辺 AC 上に ∠APQ=2∠ACB をみたす点 Q をとったところ,BQ=2 が成立しました.このとき,線分 AC の長さは互いに素な正整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b を解答してください.
半角数字で解答してください.
正の実数 x,y,z が xyz=x+y+z+2 を満たしています.このとき, x+4y+9z の最小値を求めてください.
答えを入力してください.
実数xは以下の条件をすべて満たす。
このようなx全てについて、20xの総和を求めよ。
以下の条件を全て満たす 20001 個の整数の組 (a0,a1,…,a20000) を 階段状な組 と定義します.
また,階段状な組 A=(a0,a1,…,a20000) に対して スコア S(A) を以下のように定めます.
階段状な組全てに対してスコア S(A) の総和を求め,その値が 2 で割り切れる最大の回数を求めてください.
(1) 集合 Sn={nx∣x3≦2x2+5x−6} に対し,整数 k∉¯S1∩S2∪S3 は何個あるか. (2) 3 桁の素数は 200 個未満か.
命題は真なら 1,偽なら 0 として,(1),(2) の和を半角数字で入力してください.
a<c なる実数 a,b,c が √(1+a2)(1+b2)=(b+c)(c−a)1+c2 をみたすとき,(8a+13b+21c)2 の取りうる最小値を解答してください.
64個の球 a0,a1,...a63それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか
・任意の整数 i,j (0≦i≦7,0≦j≦4) に対し、 {a8i+j,a8i+j+1,a8i+j+2,a8i+j+3} に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個 かつ、 任意の整数 k,l (0≦k≦4,0≦l≦7) に対し、 {a8k+l,a8k+l+8,a8k+l+16,a8k+l+24} に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
関数列 {fn}n=0,1,… が以下を満たします.
また, 実数列{An}n=1,2,…,{Bn}n=1,2,…を以下のように定義します.
B24 の値を求めてください.
8×8 のマス目に対し,上から 1 行目かつ左から 1 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き, 残りの 63 マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を 1 つずつ置きました. このとき,「行もしくは列を 1 つ選び,そこに置かれた 8 つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ,すべての駒が黒を表にして置かれました. このときの操作回数としてあり得る最小の値を m とおくとき,操作回数が m であって,最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください.
AB=20,CD=23,AD=12,BC=31 を満たす四角形 ABCD について,三角形 ABD の内心を I1 とし,三角形 BCD の内心を I2 とします. I1I2 と BD の交点を X とすると DX=1231 となったとき,BX の長さは互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
お笑いコンビ「さや香」の新山くんは以下のような「見せ算」という演算「∗」を考案しました.
[見せ算の計算法] 0 以上 4 以下の整数 a,b に対し,a∗b={0 (a=bのとき)a (a>bのとき)b (a<bのとき)
とし,a∗b を「 a と b の『眼』」と呼ぶ.
0,1,2,3,4 を 6 個ずつ左右一列に並べて得られる M=30!(6!)5 通りの数列のうち,左に位置する 2 数を消し,その 2 数の『眼』をこの数列の左に書き込むという操作を 29 回繰り返した時,最後に 3 が残るような 30 個の数の並べ方の総数を N とします.このとき,NM は互いに素な正の整数 p,q を用いて qp と表せるので,p+q の値を解答してください.