$$ x+ \frac{1}{x} =1 $$ のとき以下の値を求めよ $$ \sum_{k=1}^{10^m}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad $$ ただしmは自然数である。
半角数字で答えてください。 また、複数個の値を取りうる場合は値の小さい順に改行して入力してください。
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$n=1,2,3...、k=0,1,2...n-1$とします。
また、不等式$$a_1<a_2<...<a_n≦n$$
を$A_0$とし、$A_0$の$n-1$個の$<$のうち$k$個が$≦$に置き換わったものの一つを$A_k$とします。
ここで、$A_k$をみたす正整数$(a_1,a_2...a_n)$の組の総数を$N_k$とするとき、$N_0+N_1+...+N_{n-1}$を$n$を用いて表してください。
$C$(コンビネーション記号)を用いて、$aCb$の形で表すことができるので、$a,b$の間に半角スペースを入力して、$a$ $b$を半角英数字で入力してください。 追記:ただし、$b$は$2$つの値が考えられるので、小さい方を入力してください。 例)$nC2→n$ $2,2nCn→2n$ $n$
※初めの解答では指定がなく間違い判定になった方がいたので修正させていただきました、、
正の実数 $x,y,z$ が, $$ (6x+15y+8z)xyz=5 $$ を満たす時, $(5x+5y+4z)^2$ の最小値を求めてください.
半角数字で入力してください
図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、図は辺の長さが等しい正三角形と正方形と正六角形を組み合わせた図形で、正方形の面積は18㎠です。
半角数字で入力してください。 例)10
図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。
四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。 例)$\frac{52}{3}$→17.33
$$ a_1=b_1=2025, \begin{cases} a_{n+1}=a_n-2n+b_{2028}\\ b_{n+1}=b_n+4n+a_{2028}\end{cases} $$
について、$a_n$の一般項を $$a_n=α−(n−1)(n−β)$$と表したとき、$β$の値を求めよ
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。
実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$) $$ \tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x}) $$ ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。
(※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います)
解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。
$$ x+ \frac{1}{x} =-1 $$ のとき以下の値を求めよ $$ \sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad $$ ただしmは自然数である。
$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。
問題を少し変更いたしました。
答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。
$\sqrt{N+\sqrt{8999\cdot9001}}$が実数となり二重根号が外れるとき、 整数$N$の値を全て求めてください。 ただし$9001$,$8999$は素数であることが保証されます。
また、二重根号が外れるとは、 その値を正の有理数$a,b\cdots$を用いて$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\cdots$と表せることをいいます。
$N$として考えうる全ての値の総和を求めてください。
$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。
解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。 なお,解答にあたって,特殊な数式は次のように入力してください。
対数:$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m} 指数($\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください):$n^{m}$ = n^{m} 分数:$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}
$X$($0<X<2025$)個の玉から$Y$($0<Y<2025$)個を同時に取り出す操作を考える. この操作が成り立つ$X,Y$について,玉の取り出し方の総和を求めなさい.
但しボールは互いに区別できるものとする.
答えは$a^b+c(a,b,c∈ℤ)$通りと書けます.$a,b,c$として様々なものがありますが, $a+b+c=Z(Z∈ℤ ,Z>0)$について$MIN(Z)$の値を求めて下さい.
追記:8/6日問題文の訂正を行いました.もし,もとの問題文のせいでミスしたという方がいましたら,大変申し訳ありません。