階乗と直角三角形

問題文

$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.

問題

$ｎ$を $0$ でない実数とします。以下の定積分を求めてください。

解答形式

答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。

問題文

$$S_{n}=(n-2)a_{n+1}$$$$a_{1}=1$$$$\lim_{n\to \infty}S_{n}が有限の値に収束する。$$$$このとき、a_{3}の値を求めよ。$$$$ただし、S_n=a_1+a_2+･･･+a_nである。$$

解答形式

$$a_{3}の値を半角数字で入力してください。$$

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33

問題文

f(x)は連続で微分可能である。
次の式を満たすf(x)を求めよ。$$f(x)=2f(-x)+ \int_{0}^{x^{2}}f'(\sqrt{t})dt$$

解答形式

f(2024)の値を半角数字で入力してください。

少し問題を変更いたしました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

問題文

$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$

解答形式

$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。

問題文

解答形式

半角で入力してください。
また、必要であればe,πを用いてください。

問題文

$I=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{\sin^{2\cdot2}x -2\sin^2x+2} dx$を求めよ。

解答形式

答えは、
$\displaystyle I=\frac{\pi}{a\sqrt{b}}(c\log(\sqrt{d}+e)+\pi)$の形になります。($a,b,c,d,e$は1桁の自然数)
「abcde」(5桁の自然数)を入力してください。なお、センター、共通テスト形式で数字を埋めてください。

問題文

$$p、p^2、p^3、p^4$$が10進数表記ですべていい数字となる自然数pは存在するか。
ただし、いい数字とはどの桁も素数であるような自然数のことである。例えば、252、7352のような自然数のことである。

解答形式

存在するならばそのような自然数pを入力してください。存在しないならば、存在しないことを証明してください。(簡単にでいいです。)

双六でnマス目に止まる確率を求めよ。
ただし、n≦10、さいころは1個とする。

解答形式

初投稿で難易度設定とか解答の作り方とかよく分かってないので間違っていたらすみません。
・アルファベット&記号は全て半角(ただし、マイナスについては基本的に「ー」を使い、aのb-1乗のような場合では「-」を使います。)
・a分のbのc乗→(b/a)^c
・b/a+d/cのようなものは1項にまとめてください。
・場合分けがある場合は
n≦aのとき(解答)
b≦n≦cのとき(解答)
といったように改行して答えてください。

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数$f$であって、任意の実数$x,y$に対して$$f(f(x)+y)=2f^{[|y|]}(x)+f^{[|x|]}(y)$$を満たすものを全て求めてください。ただし、$f^{s}(t)$は$$f^{s}(t)=f(f(f(…f(t)))…),f^0(x)=0$$($f$が$s$個)、$[α]$は$α$以下の最大の整数とします。

＊解答だけで構いません。

問題文

$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、

$$
\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}}
$$

である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

ヒント

必要であれば以下の事実を用いてよい。

・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式

$$
1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2
$$

が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。