第2問

問題文

$p $を 3 以上の素数とする。$X = (p-1)! $とおく。
次の和 S を考える。
(1) $S = X^X + X^{pX}$
$S $を $p^2 $で割った余りを求めよ。
(2)$p$ を $3$ 以上の素数とし、$X=(p-1)!$ とおく。
$k=1, 2, \dots, p-1$ に対して、$A_k = k^{(X^p)}$ および $B_k = (X^k)^{(p-1)}$ と定義する。
次の和 $S$ を考える。
$$S = \sum\nolimits_{k=1}^{p-1} (A_k + B_k)$$
$S$ を $p^2$ で割った余りを求めよ。