第4問

問題

x,y,z を正の整数とするとき、方程式
$$ \frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=k $$
は正の整数 k の値をとるとする。

(1)この条件を満たす$(x,y,z)$のうち、少なくとも1つが$1$であるとき、$k＝1+m^2$(mは自然数)とかけることを示せ。
(2) k=5 とする。方程式 $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=5$ を満たす正の整数解 (x,y,z) で、$x \le y \le z$ を満たすものを考える。これらの解の中で、比の値 $\frac{z}{y}$ が $9.8$ より大きくなるような解のうち、$z$ の値が最小となるものを求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明と、
(2)はある程度解答の方針を示した上で
解を答えて下さい。