相互作用する泡の成長限界予想

予想のルールと定義

1. 泡 (バブル) $B$: 2次元平面上に存在する、正方形の領域とします。各泡は中心点と辺の長さ $L$ を持ちます。
2. 成長率 $R(B)$: 各泡 $B$ は、自身の辺の長さ $L(B)$ に比例して成長しようとします。
   • 成長しようとする速さ: $k \cdot L(B)$ （$k$ は普遍的な正の定数）
   • 例えば、辺の長さが2倍になれば、成長しようとする速さも2倍になります。
3. 相互作用 (衝突と抑制):
   • 泡 $B_1$ と $B_2$ が部分的にでも重なる場合、それらは「衝突している」と見なします。
   • 衝突している泡は、互いの成長を妨げます。特に、泡 $B$ の成長率 $R(B)$ は、衝突している各泡の数に反比例して減少します。
     • 実際の成長率 $R_{\text{actual}}(B) = \frac{R(B)}{1 + (\text{衝突している泡の数})}$
     • 例: 1つの泡と衝突していれば、成長率は $R(B)/2$ になります。
4. 成長の停止: 泡が成長しようとする実際の成長率 $R_{\text{actual}}(B)$ がゼロになったとき、その泡の成長は完全に停止します。

予想の内容

任意の有限個の泡（それぞれ任意の初期位置と初期の辺の長さを持つ）からなるシステムにおいて、「相互作用する泡」のルールに従って成長させると、最終的に全ての泡の成長が完全に停止する。すなわち、無限に成長し続ける泡のシステムは存在しない。

解凍形式

この予想が正しいことの証明または、正しくないことの証明をしなさい。