問題6

解説

まず、与えられた数列 ${a_n}$ はリュカ数 ${L_n}$ であり、集合 $S$ は法 $43$ における平方非剰余の集合 ${N_{43}}$ 。したがって、求める値は $P = \prod_{k \in N_{43}} L_k \pmod{43}$ となる。
ここで、素数 $p$ が $p \equiv 3 \pmod 4$ を満たすとき、この積の値は、$5$ が法 $p$ で平方剰余か否かによって決まる性質がある。
$p=43$ は $43 = 4 \times 10 + 3$ より、$p \equiv 3 \pmod 4$ を満たす。
次に、$5$ が法 $43$ で平方剰余であるかを、(/)をルジャンドル記号として調べる。
$(5/43) = (43/5) = (3/5) = -1$
これは、$5$ が法 $43$ における平方非剰余であることを示す。
上記の性質から、$5$ が法 $p$ で平方非剰余の場合、求める積は $1$ になることが分かる。
したがって、解答すべき値は
$1$