問題2

1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ.
(ただしpは素数とする)

(半角の自然数が答え)

問題文

$p=3, \quad q=5, \quad r=7$

$X = p^q + q^p$
$Y = q^r + r^q$
$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

正整数 $a$ に対して，$\dfrac{n(n+2)}{a}$ が平方数であるような正整数 $n$ が無限に存在しました．さらに小さい方から $i$ 番目のものを $n_i$ とすると，任意の正整数 $i$ が $n_{i+2}+n_{i}=98n_{i+1}+2n_1$ を満たしました．このとき，$a$ としてありうるものの総和を解答してください．

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許さないとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

問題文

₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

モニターに0が表示されている。ここには3つのボタンがあり、
・ボタン$A$を押すとモニターの数字が1増える。
・ボタン$B$を押すとモニターの数字が2増える。
・ボタン$C$を押すとモニターの数字が3増える。
ボタン$A～C$をそれぞれ任意の回数押したとき、
最後に表示される数字が300以下の非負の3の倍数となるようなボタンの押し方の総数を求めよ。ただし、ボタンを押す順番は区別しない。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．

解答形式

半角の整数で入力してください．

問題文

以下の連立方程式を満たすような実数の組$(a,b,c,d)$の個数を求めよ。
$$
\begin{cases} ab^2c^3d^4=1 \\ a^4bc^2d^3=1\\a^3b^4cd^2=1\\a^2b^3c^4d=1\end{cases}
$$

解答形式

半角数字で個数を入力してください。

問題文

$AB=BC$で、面積が$2025$であるような二等辺三角形$ABC$がある。$AB(=BC)$の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字で$AB^2(=BC^2)$の値を入力してください。

3辺の長さがそれぞれ自然数の三角形であり、3辺の長さの合計が1200になるという。このような条件を満たす三角形の個数を求めよ。

${}$　西暦2026年問題第10弾です。今年の最終回を迎えました。最終回はどこから手を付けていいのか迷ういそうな問題を用意しています。とはいえ、タネに気づけばサクッと解けるように仕込んであります。じっくりと腰を据えてお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める$x$の値を小さい順に2行に分けて半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。
（例）$x=$110, 2026 → 《1行目》$\color{blue}{110}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$