PDC009(A)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度: 数学
2025年9月30日22:00 正解数: 37 / 解答数: 38 (正答率: 97.4%) ギブアップ数: 0
この問題はコンテスト「PDC009」の問題です。

問題文

一辺の長さが $68$ の正三角形 $ABC$ について,線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり,$D$ から $AB,AC$ に降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とする.$BE=14$ が成り立つとき,線分 $CF$ の長さを求めよ.


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  • $(1,1)$ に $1$ を,$(1,2)$ と $(2,1)$ に $2$ を書き込む.
  • $k\geq 3$ について,すべてのマスに整数が書き込まれるまで以下を繰り返す: $k-2$ が書き込まれているいずれかのマスと,辺を共有せず頂点のみを共有しているマスであり,まだ整数が書き込まれていないようなものすべてに $k$ を書き込む.

いま,PDC 君は $(m,n)$ にいるとき $(m+1,n), (m,n+1)$ に瞬間移動することができ,またそれ以外の移動をすることができない.あるマスからあるマスへの経路について,全ての訪問したマス(出発地点と到着地点を含む)に書き込まれた数字の総和をスコアとする.
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また,$g(n)$ で $n$ の正の約数 $d$ すべてについて $f(d)$ の総和を表す.
このとき,
$$g(2\times 3\times 7\times 11\times 13\times 17)-g(5\times 7\times 11\times 13\times 17)$$ を求めよ.

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三角形 $ABC$ があり,内心を $I$ とし直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $BDI$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円に点 $B$ で内接し,以下が成立しました.
$$BD=12,\quad BI=10$$
このとき線分 $AC$ の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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$AB<AC$ なる三角形があり,辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば,
$$AB=BD,\quad AM=3,\quad CD=2$$
が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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$$DG=BF,\quad AD=9,\quad AF=4$$
が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.

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解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で入力してください.

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解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.

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$$BP=HP=15,\quad AH=9$$
が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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