一辺の長さが $68$ の正三角形 $ABC$ について,線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり,$D$ から $AB,AC$ に降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とする.$BE=14$ が成り立つとき,線分 $CF$ の長さを求めよ.
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$p^2q+16r=2s^2$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ すべてについて,$pqrs$ の総和を解答せよ.
$14\times 14$ のマス目に以下のように整数を書き込む.ただし,左から $m$, 上から $n$ 番目のマスを $(m,n)$ で表すものとする.
いま,PDC 君は $(m,n)$ にいるとき $(m+1,n), (m,n+1)$ に瞬間移動することができ,またそれ以外の移動をすることができない.あるマスからあるマスへの経路について,全ての訪問したマス(出発地点と到着地点を含む)に書き込まれた数字の総和をスコアとする. $(1,1)$ から $(14,14)$ まで移動するとき,スコアが最小となるような移動方法はいくつあるか?
正の整数 $n$ について,$f(n)$ で $n$ の正の約数であり,$n$ の最小の素因数を素因数に持たないようなもののうち最大のものを表す.例えば,$f(2\times 3^2)=3^2, f(2\times 3\times 5)=3\times 5$ である.ただし,$f(1)=1$ と扱う. また,$g(n)$ で $n$ の正の約数 $d$ すべてについて $f(d)$ の総和を表す. このとき, $$g(2\times 3\times 7\times 11\times 13\times 17)-g(5\times 7\times 11\times 13\times 17)$$ を求めよ.
$$x^4-xy^3+y^2=11, x^3y-y^4+x^2=13$$ を満たす複素数の組 $(x,y)$ について,$\dfrac{y}{x}$ としてありうる値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
三角形 $ABC$ があり,内心を $I$ とし直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $BDI$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円に点 $B$ で内接し,以下が成立しました. $$BD=12,\quad BI=10$$ このとき線分 $AC$ の長さを解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
$AB<AC$ なる三角形があり,辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば, $$AB=BD,\quad AM=3,\quad CD=2$$ が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください.
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします.直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると, $$DG=BF,\quad AD=9,\quad AF=4$$ が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって,上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか?
答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.
$26$ 種類あるアルファベットの大文字からなる文字列に対し,次のようにして整数を対応付けます.
例えば,文字列 $CAT$ は,$C$ が $3$ 番目,$A$ が $1$ 番目,$T$ が $20$ 番目のアルファベットであるから $3120$ となります.このように,ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります. いま,ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました.元の文字列として考えられるものはいくつありますか?
答えは非負整数値となるので,それを半角で入力してください.
$2$ 以上の整数 $n$ のうち,次の条件を満たすものはいくつありますか?
外接円 $\Omega$ を持つ鋭角三角形 $ABC$ があり,垂心を $H$ とします.直線 $AH$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でないものを $P$ とすれば, $$BP=HP=15,\quad AH=9$$ が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
円に内接する四角形 $ABCD$ について,線分 $AC$ はその直径をなす.線分 $BD$ の中点を $M$ とすると $AM=AD, BD=12, CD=13$ が成立した.線分 $BC$ の長さの二乗を求めよ.