解説
$BC=a, CA=b, AB=c$ とおく．条件より $c=b+1$ （または $b=c+1$ ）であるが，対称性から $c=b+1$ としても一般性を失わない．
$\angle A = 120^\circ$ であるため，余弦定理より以下の式が成り立つ．
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(120^\circ)$$
$$a^2 = b^2 + (b+1)^2 + b(b+1)$$
$$a^2 = 3b^2 + 3b + 1$$
この式の両辺を $4$ 倍して平方完成を行う．
$$4a^2 = 12b^2 + 12b + 4$$
$$(2a)^2 - 3(2b+1)^2 = 1$$
ここで，$X = 2a$，$Y = 2b+1$ とおくと，方程式 $X^2 - 3Y^2 = 1$ が得られる．
この方程式はペル方程式と呼ばれる．(補足参照) 基本解は $(X, Y) = (2, 1)$ であるが，このとき $a=1, b=0, c=1$ となり三角形が退化するため不適である．
ペル方程式の一般解は，自然数 $k$ を用いて以下の形で表される．
$$X_k + Y_k\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^k$$
$X_k$ が偶数 $2a$ ，$Y_k$ が奇数 $2b+1$ となるのは $k$ が奇数のときのみである．したがって，奇数番目の解 $k = 2m-1$ （ $m$ は自然数）を考える．
解となる $a$ の値を小さい方から順に $a_{m}$ とすると，ペル方程式の解の性質から，数列 $a_{m}$ において以下の漸化式が成り立つ．
$$a_{m+1}= 14a_{m} - a_{m-1}$$
順に計算すると以下のようになる．
- $a_1 = 1$ （退化するため不適）
- $a_2 = 13$ （ $1$ 番目の三角形）
- $a_3 = 181$ （ $2$ 番目の三角形）
- $a_4 = 2521$ （ $3$ 番目の三角形）
- $a_5 = 14 \times 2521 - 181 = 35113$ （ $4$ 番目の三角形）
- $a_6 = 14 \times 35113 - 2521 = 489061$ （ $5$ 番目の三角形）
求める値は $5$ 番目の三角形における辺 $BC$ の長さなので， $\mathbf{489061}$ である．
※補足 (ペル方程式について)
$d$ を平方数でない正の整数とするとき，以下の形で表されるディオファントス方程式をペル方程式と呼ぶ．
$$x^2 - d y^2 = 1$$
この方程式は常に正の整数解 $(x, y)$ を持つことが知られており，そのうち $x + y \sqrt{d}$ を最小にする解 $(x_1, y_1)$ を基本解と呼ぶ．すべての正の整数解 $(x_n, y_n)$ は，基本解を用いて次のように表される．
$$x_n + y_n \sqrt{d} = (x_1 + y_1 \sqrt{d})^n \quad (n = 1, 2, \dots)$$
また，右辺が $-1$ である次の方程式についても，解が存在する場合は同様の構造を持つ．
$$x^2 - d y^2 = -1$$
また，これらは平方根 $\sqrt{d}$ の連分数展開を利用することで，効率的に基本解を求めることが可能である．
おすすめ問題
この問題を解いた人はこんな問題も解いています
