≪aは定数とする。xの関数f(x)に対しf(a)とは、f(x)にx=aを代入した値である。例えば、f(x)=2xが与えられれば、f(2)の値は4となる≫
f(x)=3x−1についてf(a+1)をaを用いて表せ
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$m$ と $n$ を互いに素な自然数とします.実数係数多項式 $f(x)$ が次の性質をもっているとき,$f(x)$ を $m,n$-生成の多項式と呼ぶことにします.
$x^k$ がすべての $10,n$-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 $k$ は
です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.
センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
-,a,b,c,d
1, 2, 3
123
図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。 ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。
答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。 ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。
$a,b,c$がいずれも正の実数であり、$a+b+c=5,abc=1$が成り立つとき、$ab+bc+ca$の最小値を求めよ。
答えは既約分数になります。/を用いて入力してください。 例:$\displaystyle\frac{5}{7}$→5/7
$f(x)=x^3+7x+6$の値が63の倍数になるような2桁の自然数$x$をすべて求めよ。
解1つごとに改行して上から小さい順に半角数字で入力してください。$x=$は書かなくて良いです。
ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます.ピザには表と裏があり,表には具がのっていて,裏にはのっていません.はじめ,すべての皿のピザは表が上になっています.これらのピザに対して,次の操作Xを考えます.
操作X:
この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと,1枚の皿にピザの塔ができます.操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします.ピザの塔を構成するピザを,上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし,$P_i$ が表を上に向けているとき「表」,裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると,ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます.
$N=6$とします.「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.
半角数字で入力してください.
(1)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときの循環節(※)が2以上8以下であるような$p$は6つ存在する。フェルマーの小定理を用いて$p$とその$p$に対する$\frac{1}{p}$の循環節の長さの関係を導き、6つの$p$の値を全て答えよ。
(2)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときに最大で1が連続して並ぶ個数を$f(p)$とおく。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$より$f(3)=1$である。(1)を満たす$p$の中で$f(p)$が最大となるのは$p$がいくらのときか。Midyの定理を用いることによって求め、その値を答えよ。
(※)循環節とは、循環小数の繰り返される数字の列のうちその長さが最小でありかつその先頭が最も先に来るようなもののことである。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$となり、このときの循環節は$01$であり、$0101$や$10$は循環節とならない。
(1)の全ての答えを小さい順に1~6行目に半角数字で入力してください。また、(2)の答えを7行目に半角数字で入力してください。
関数 $f(x)=\sqrt[3]{-(x+4)(2x+3)(3x-8)}\ \left(\displaystyle -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{8}{3}\right)$ の最大値を求めよ。
半角数字またはTeXを入力してください。
$\pi$ と $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ はどちらが大きいか。
緑色の線分の長さは1です。 このとき、円の面積を求めてください。 図中の赤点はそれを含む線分の中点です。
答えは(分数)×πの形になります。 分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。 ただし、既約分数の形で解答してください。 例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3
(2020.9.26 11:57追記) 解答形式に不備があったため、訂正致しました。
図の青、緑、赤の線分の長さを$X,Y,Z$、斜線部の面積を$S$とすると、次の式が成り立つ。 $$ \frac{[ア]}{S}=\frac{[イ]}{Z}\left(\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\right) $$ なお、図の曲線は半円の弧である。
$[ア],[イ]$にはともに自然数が入ります。その和を半角数字で解答してください。 ただし、その和が最小となるように解答してください。 例:$[ア]=4,[イ]=2$なら$6$ではなく(両辺を$2$で割ることにより)$3$と解答。
(1) 定積分
$$ \int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx $$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$ f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x $$
で定める。定積分
$$ \int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx $$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。