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問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103,　0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。

$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。

問題文

円$C_1:x^2+(y−\sqrt{6})^2=2$及び円$C_1$と$x$軸について対称な円$C_2$をとる。さらに、2点$(0,\sqrt{6}−\sqrt{2}),(0,−\sqrt{6}+\sqrt{2})$を通り$x$軸に垂直で、原点を中心とする円$C_3$をとり、円$C_2$の中心を通り$xy$平面に垂直な直線を$l$とする。円$C_3$を直線$l$周りに$360°$回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答形式

正整数$a,c,e$と平方因子をもたない正整数$b,d$を用いて$(a\sqrt{b}−c\sqrt{d})π^e$と表せるので、$a+b+c+d+e$を解答してください。

問題文

$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において，外心を $O$，内心を $I$ とします．また，三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とします．さらに，$I$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $AD$ との交点を $P$ とすると，以下が成立しました．
・直線 $AD$ と直線 $IO$ は直交する．
・$AP=15,DP=8$
$AI$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せます．
　ところで，$\cal{AB}=a,\cal{AC}=(b\ \mathrm{mod}\ a)$ なる三角形 $\cal{ABC}$ の内心を $\cal{I}$，内接円 $\omega$ と辺 $\cal CA,AB$ との接点をそれぞれ $\cal E,F$ とします．三角形 $\cal ABE$ の外接円と三角形 $\cal ACF$ の外接円が $\omega$ 上で交わっているとき，辺 $\cal BC$ の長さを求めてください．ただし，求める長さは，正整数 $c,d$ を用いて $c-\sqrt{d}$ と表せます．ただし，$(b\ \mathrm{mod}\ a)$ で $b$ を $a$ で割った余りを表します．
　ところで，$n=d-2c-4$ とします．Furinaくんは，以下のような問題Xを作りましたが，数値設定に悩んでいます．
問題X：$XY=n,YZ=p,ZX=q$ なる三角形 $XYZ$ の内心を $ぴ$，$\angle X$ 内の傍心を $か$ とします．$ぴか$ の長さを求めてください．
　Furinaくんは，解答形式を奇麗にしたいため，$ぴか^2$ が正整数になるようにしたく，さらに $ぴか^2$ が $p$ で割り切れないようにしたいといいます．このようなことが可能な奇素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総積を求めてください．

追記 $\angle A$ 内の傍心とありましたが，これは $\angle X$ 内の傍心のことです．現在は訂正されています．

解答形式

半角整数値で解答してください．

問題文

鋭角三三三角形 $ABCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC$ において，その外心を $O$，垂心を $H$，内接円を $\omega$ としたとき，$O,H$ はともに $\omega$ 上にあり，$\omega$ の半径は $1$ であった．
この条件下で線分 $OH$ の長さとしてありうる値の総積を $xxxxxxxxxx$ とする．$xxxxxxxxxx$ の最小多項式を $P$ として，$|P()|$ の値を解答せよ．ただし，$xxxxxxxxxx$ が最小多項式をもつことが保証される．

解答形式

半角数字を用いて解答せよ．解答すべき値が $$ でないことは保証される．

問題文

正の有理数に対してスコアを次のように定義する。
有理数に対して正則連分数の数列を $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$とした時、$\sum^{n}_{i=0}a_i$
連分数を知らない人は下のWikipediaを見ても良いです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

例えば、$9$ のスコアは $9$ で、$\frac{7}{4}$ のスコアは $5$ で、$\frac{1}{7}$ のスコアは $7$ です。

スコアが $10$ であるような正の有理数の中で $100$ 番目に小さいものを解答してください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて、$\frac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は $5$ 回です。

問題文

$$\sum^{100}_{k=1}\left\lfloor \sqrt[3]{1001001-k^3}\right \rfloor$$
を $2$ で割った余りはいくつですか？

解答形式

非負整数で解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は $1$ 回です。

問題文

$40000000001$ は二つの異なる素数の積で表されます。その二つの素数のうち小さい方を解答してください。

解答形式

非負整数で解答して下さい。

提出制限

この問題の提出制限は10回です。

問題文

どうやらUSOMO004においてChatGPTを利用し不正を働いた人物がちょうど1人いるらしい。容疑者は一郎、二郎、三郎、四郎、五郎、あなたの6人に絞られた。
一郎「三郎、五郎、あなたの内誰かが犯人だ。」
二郎「五郎は犯人じゃない。」
三郎「一郎は嘘をついていない。」
四郎「俺は犯人じゃない！」
五郎「俺も犯人じゃない！」
犯人の1人以外は全員本当の事を言っているはずである。
犯人は一体誰だろうか。

解答形式

犯人を漢字二文字で解答してください。自分が犯人である場合は自分と解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は $1$ 回です。

問題文

左から右に一列に並んだ $n$ 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う $2$ つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その $2$ つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。

例: $n=3$ の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。

Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...

あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は $n=333$ です。あなたが先手か後手を選んでください。

解答形式

あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は $-5000000000000000$ 点になります。

提出制限

この問題の提出制限は $1$ 回です。

問題文

五十音(あ～ん)の中で、揉めるものをすべて答えてください。

解答形式

ひらがなで一行に、五十音順で入力してください。また、空白などで区切る必要はありません。

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.