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問題文
次の文章の空欄を埋めてください。
$n$個の実数$x_1,x_2,\cdots,x_n$が、$x_1+2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=n$を満たすとき、$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$の最小値を$m_n$とすると、
$$
m_n=\frac{\fbox アn}{(n+\fbox イ)(\fbox ウn+1)}
$$
であり、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(m_1+\frac{m_2}{2}+\cdots+\frac{m_n}{n}\right)=\fbox{エオ}\left(-\frac{1}{\fbox カ}+\ln{\fbox キ}\right)
$$
である。
解答形式
$\fbox ア～\fbox キ$には$1$以上$9$以下の整数が入ります。文字列アイウエオカキを半角数字で解答してください。
例: $\fbox ア=1,\fbox イ=2,\fbox ウ=3,\fbox {エオ}=45,\fbox カ=6,\fbox キ=7$ $\rightarrow$ $1234567$ と解答
問題文
周の長さが30である長方形ABCDがあります。辺CD上に∠APB=90°となるような点Pをとれるとき、長方形ABCDの面積の最大値を求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
（１）$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{4}$ のとき、$\displaystyle \tan2\theta=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}$ である。
（２）連立方程式
$$
\begin{cases}
x_1=x_2(2+x_1x_2) \\
x_2=x_3(2+x_2x_3) \\
x_3=x_4(2+x_3x_4) \\
x_4=x_1(2+x_4x_1)
\end{cases}
$$
を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。
解答形式
ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「エオカ」を半角で2行目に入力せよ。
問題文
正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 $f$ が、任意の正の実数 $x,y$ に対して
$$
f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)=\frac{f(x)f(y)}{x+y+1}
$$
を満たすとき
$$
f\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカキ}}
$$
である。
解答形式
ア〜キには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカキ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。
問題文
以下の文がそれぞれ正しくなるように、空欄に $0$ から $9$ までの数字を埋めよ。ただし、同じ文字の空欄には同じ文字が入る。
（１）数列 $\fbox{ア}, \fbox{イ}, \fbox{ウ}, \fbox{エ},\fbox{オ}$ には、
$0$ が $\fbox{ア}$ 回、$1$ が $\fbox{イ}$ 回、$2$ が $\fbox{ウ}$ 回、$3$ が $\fbox{エ}$ 回、$4$ が $\fbox{オ}$ 回、それぞれ現れる。
（２）数列 $\fbox{カ}, \fbox{キ}, \fbox{ク}, \fbox{ケ}, \fbox{コ}, \fbox{サ}, \fbox{シ}, \fbox{ス}, \fbox{セ}, \fbox{ソ}$ には、
$0$ が $\fbox{カ}$ 回、$1$ が $\fbox{キ}$ 回、$2$ が $\fbox{ク}$ 回、$3$ が $\fbox{ケ}$ 回、$4$ が $\fbox{コ}$ 回、
$5$ が $\fbox{サ}$ 回、$6$ が $\fbox{シ}$ 回、$7$ が $\fbox{ス}$ 回、$8$ が $\fbox{セ}$ 回、$9$ が $\fbox{ソ}$ 回、それぞれ現れる。
解答形式
ア〜ソには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「カキクケコサシスセソ」を半角で2行目に入力せよ。
問題文
$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、
$$
\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}}
$$
である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。
ヒント
必要であれば以下の事実を用いてよい。
・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式
$$
1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2
$$
が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。
解答形式
ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。