全問題一覧
問題文
$n\;(\geq 2)$ を自然数とするとき，以下の試行を行うことを考える。
試行
- $n$ 人が $0,1,2$ のいずれかひとつの数を無作為に選ぶ。
- 人 $i\; (i=1,2,\cdots, n)$ が選んだ数を $a_i$ とする。各人 $i$ に対して，
$$
a_i\equiv\sum_{j=1}^n a_j\; ({\rm mod} \; 3)
$$ならば人 $i$ は生存し，そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い，全員が生存するか全員が脱落するとき，modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき
$$
p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}
$$
である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき
$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n}
$$
であり，そうでないときには
$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n}
$$
である。また，
$$
\lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ}
$$
が成り立つ。
解答形式
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には，半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。
問題文
$r$ を正の整数とする。$xyz$ 空間において，原点を中心とする半径 $\sqrt{r}$ の球面を $S_r$ で表すとき，次の問いに答えなさい。
- $S_r$ が格子点を含まないような最小の $r$ を求めなさい。
- $S_r$ が格子点を含まず，$r$ が $8$ の倍数であるような最小の $r$ を求めなさい。
※点 $(x,y,z)$ が格子点であるとは，$x,y,z$ がすべて整数であることをいう。
解答形式
改行区切りで，1行目に 1. の答えを，2行目に 2. の答えを入力してください。
問題文
図中、同じ印のついている辺・角同士は等しいです。
緑の凹四角形の面積が10のとき、青の三角形の面積を求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
正六角形2つが図のように配置されています。赤い線分と青い線分の長さの比が1:4であるとき、緑で示した角Yの角度を求めてください。
ただし、図中"center"で示した点は正六角形の外心です。
解答形式
0~360までの半角数字で、「°」や「度」をつけずに解答してください。
問題文
2つの正六角形が図のように配置されています。
赤い線分の長さが10のとき、青い線分の長さを求めてください。
ただし、図中"center"で示した点は各正六角形の外心です。
解答形式
半角数字で解答してください。
