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設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問7
数列 ${a_n}$ が $a_1 = 0, a_2 = 1$ および漸化式
$$ (n+1)a_{n+2} - (3n+2)a_{n+1} + 2na_n = 0 \quad (n \ge 1) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

設問9

数列 ${a_n}$ ($a_n \in {0,1,2,3,4}$) が $a_1=1, a_2=1$ および漸化式 $a_{n+2} \equiv a_{n+1} + a_n \pmod{5}$ ($n \ge 1$) を満たすとする。$a_{2025}$ の値を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

設問3
正四面体の4つの頂点を A, B, C, D とする。点Pは、1ステップごとに、現在いる頂点と辺で結ばれた他の3つの頂点のいずれかに等確率（それぞれ確率 $1/3$）で移動する。最初に点Pは頂点Aにいるものとする。
$n$ 回移動後に点Pが頂点Aにいる確率 $a_n$ を求めよ。

解答形式

問題文

数列 ${a_n}$ ($n \ge 0$) が、初期値 $a_0 = 3$ および以下の漸化式で定義されるとする。
$$a_{n+1} = a_n^2 - 2 \quad (n \ge 0)$$
この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
ただし、黄金比を$Φ$とする。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$\log_2 25$ の小数部分をbとする
このとき、$\log_{10}2$ をbを用いて表せ

解答形式

答えのみ

問題文

$a>0,b>0$ のとき、
$a^{4}+4a^{3}b+2a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\geq0$ を示せ

解答形式

記述形式でお願いします
入力がめんどくさい方は、紙に書いて、twitterのDMに送ってください

問題文

$m!$ を正整数 $m$ の階乗とする。$n \ge 2$ なる整数 $n$ に対し、$m!$ の $n$ 進法表記における末尾の連続する $0$ の個数を $Z_n(m!)$ とする。
正整数 $k$ に対し、$Z_n(m!) = k$ を満たす最小の正整数 $m$ を $M(n, k)$ と定義する（存在しない場合は $M(n, k) = \infty$）。

素数 $p$ について、$M(p, k_1) = p^2$ を満たす正の整数 $k_1$ と、$M(p^2, k_2) = p^3$ を満たす正の整数 $k_2$ を考える。
$k_1 + k_2 = 21$ となる素数 $p$ の値をすべて求めよ。

解答形式

半角で1スペースおきにお願いします
最初は空けなくていいです

問題文

$n\;を自然数とする$
$n\;が15の倍数でないとき、n^{4}+14\; は素数でないことを示せ$

解答形式

記述形式でお願いします
入力がめんどくさい方は、紙にでも書いて、twitterのDMに送ってください

問題文

△ABCで、内接円の半径を$r$とする。
$tanA＝1/k,a＝4k,r＝k$
のとき、△ABCの面積の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字の既約分数で1行目に分子、2行目に分母を書いてください、整数の場合も分母を1としてください。

問題文

三角形 $ABC$ の線分 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AB$ 上に点 $P$ をおくと $AP=2,AM=5,CP=4, \angle ACP= \angle BPM$ であったので，線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．