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解答形式

(1)は微分の結果のみ、(2),(3)は通常通り回答してください。

ある箱Hに赤玉5個、白玉4個入っている、Aさんが白たまを引くとき、Bさんは青玉を白玉の代わりに入れる、
同様に赤玉を引いたとき、Ｂさんは緑玉を代わりに入れる、その後Gさんが箱から玉を取り出す、この時青玉を取り出す確率は幾つであるか

回答は
該当/全体的
で記入してください

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，四角形 $KSHD$ は凹四角形となりさらに以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{(m+1)m^2n^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

以下の整数 $2$ つの組からなる関数 $f(n,m)$ について, $f(30000,20000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

• $n,m$ のいずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $f(0,0)=f(0,1)=f(1,0)=1$.
• $(n,m)\not \in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ であるとき, 以下が成立.
  $$f(n,m)+f(n-2,m)+f(n,m-2)=2f(n-1,m)+2f(n,m-1)+2f(n-1,m-1)$$.

問題文

$x$を$x^2+2ax+b=0$の解でない実数、$a,b$を$100$以下の正整数とする。
ある$a,b$に対して
$$x^2+2ax+b-\frac{1}{x^2+2ax+b}$$
の最小値を$min(x)$とすると、この$min(x)$の値は、$a,b$の値によって変わる。$min(x)$が一意に定まり、かつその$min(x)$を最小にするような$a,b$の値をすべて求めよ。

追記:問題文を一部変更しました。

解答形式

ありうる組$(a,b)$について、$a+b$の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$x$を実数とする。
$$x^2+1-\frac{1}{x^2+1}$$
の最小値を求めよ。

解答形式

最小値の値を半角数字で入力してください。

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{mn^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

問題文

整数 $n$ について， $n^5+n^4+32$ が素数でないことを示せ．

解答形式

簡単な証明をお書き下さい．

Puzzle #2 (Difficulty: 200)

青，幽霊 → わたくし
虹色，アカウント → ________ _____ (13 characters, no spaces)

半角 英小文字/数字 で解答してください．
* Web 検索，プログラミング，生成 AI を利用しても構いません．

半径1の円$\omega$に内接する凸六角形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$について,線分$A_{1}A_{4},A_{2}A_{5},A_{3}A_{6}$はそれぞれ$\omega$の直径です.直線$A_{1}A_{2}$と直線$A_{3}A_{4}$の交点を$B_{1}$直線$A_{3}A_{4}$と直線$A_{5}A_{6}$の交点を$B_{2}$直線$A_{5}A_{6}$と直線$A_{1}A_{2}$の交点を$B_{3}$とすると以下が成立しました.
$$
\frac {A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{5}}+\frac {A_{2}A_{3}}{A_{2}A_{6}}+\frac {A_{3}A_{4}}{A_{3}A_{1}}=3,三角形B_{1}A_{2}A_{3},B_{2}A_{4}A_{5},B_{3}A_{6}A_{1}の面積の和は\frac {24}{5}.
$$
このとき,六角形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$の面積は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.