全問題一覧
公開日時: 2024年10月26日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$\triangle ABC$において，内心を$I$，重心を$G$とし，$I$ から$BC$，$CA$，$AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$D$，$E$，$F$とすると，$G$は$EF$上にあり，$IG=1$，$BD:DC=3:5$を満たした．このとき，$\triangle ABC$の周長の$2$乗を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．
公開日時: 2024年10月26日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において，$AC$の中点を$M$とすると，$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$，$Q$をとることができ，$B$，$P$，$Q$，$C$はこの順にあった．また，$B$を直線$MQ$について対称移動した点を$X$とすると，$AX=11$，$PX=18$を満たした．このとき，$BC$の長さの$2$乗を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので，$a+b$を半角数字で解答してください．
公開日時: 2024年10月26日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
外接円の直径が$5$，$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において，$\triangle ABC$の内心，$B$傍心をそれぞれ$I_1$，$I_B$とし，$\triangle ADC$の内心，$D$傍心をそれぞれ$I_2$，$I_D$とすると，$I_1$，$I_2$，$I_B$，$I_D$は同一円周上にあり，$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした．$AC$の中点を$M$としたとき，$BM+DM$を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．
公開日時: 2024年10月25日17:37 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$4$ 行 $6$ 列のマス目の各マスに $1$ 以上 $12$ 以下の整数を書き込みます. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目にあるマスに書かれた数を $a_{i,j}$ で表すとき, 以下を満たす書き込み方は何通りありますか？
- $j=1,2,3,4,5$ について以下の値が正の奇数となる.
$$
\min_{1\leq i\leq 4}(a_{i,j+1}-a_{i,j})
$$
公開日時: 2024年10月22日20:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
三角形ABCがある。初めに頂点ABCいずれかの頂点にランダムに駒を1つ置き、
操作nを繰り返し行うことで駒を移動させる。
$操作n:$$ カードがそれぞれn，n+1，n+2枚入った箱ABCを用意する。$$それぞれの箱にあたりの
カードが3，4，2枚入っている。$$
頂点Aにいる時は、まず箱BかCをランダムに選び、$$選んだ箱からカードを1枚引く。$$箱Bであたりを引くと頂点Aにそのまま、$$箱Cであたりを引くと頂点Bに、$$どちらの箱においてもハズレを引くと頂点Cに移動する。$$頂点Bにいる時は、箱Aからカードを1枚引き、$$あたりをひくと頂点Aに、$$ハズレだと頂点Cに移動する。
$$頂点Cにいるときは何もしない。$
$操作3→操作4→操作5→・・・→操作kを行った時(3 \leq k)頂点Aに駒がいる確率を求めよ。$
公開日時: 2024年10月20日0:23 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
正整数 $n$ を与えたところ，以下の等式をみたす実数 $x$ がちょうど $4$ つ存在しました．
$$x^2 - 18\sqrt{n}|x| - 30n + 1110 = 0$$$n$ のとり得る値の総和を求めて下さい．
解答形式
半角英数にし，答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．