数学の問題一覧
公開日時: 2025年1月4日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB＝AE，BC＜DE$を満たす円に内接する五角形$ABCDE$がある．
$AC$と$BE$の交点を$F$，$AD$と$BE$の交点を$G$とすると
$BG＝153，EF＝187，FG＝117$が成立した．
直線$CD$と直線$BE$の交点を$P$とするとき$BP$の長さを解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年1月4日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
鋭角三角形$ABC$があり$∠A$内の傍心を$P$とすると$∠APB＝23°$であったので，
$∠BAC$の大きさを度数法で表したときにあり得る最小の整数値を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年1月4日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
鋭角三角形$ABC$があり$BC$の中点を$M$とし，$B$から$AC$におろした垂線の足を
$D$とする．$AM$と$BD$の交点を$P$とし，半直線$CP$と$AB$の交点を$E$とすると$∠DEP＝∠DMP，
DM＝5，EM＝2$が成立したので
三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年1月4日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
鋭角三角形$ABC$があり垂心を$H$とすると$AH＝7，BH＝CH＝2$であったので
$AB$の長さの$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年1月4日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB=12，BC＝14，CA＝16$の三角形$ABC$があり$∠A$の内角二等分線と
$BC$の交点を$D$とする．線分$AC$上に$DB＝DE$となる点$E$をとるとき，
$CE$の長さとしてあり得る値の総和を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年1月4日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
正方形$ABCD$があり線分$CD$上に$∠DAP＝19°$となるよう点$P$をおき，
$P$から$AC$への垂線の足を$H$とするとき$∠CBH$の大きさを度数法で解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年1月4日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
三角形$ABC$の内心を$I$とすると$AB＝65，AC＝78，AI＝39$であったので
$BC$の長さを解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2024年12月13日23:09 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
OMCB030-C(https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/4587)
のもう一つの案です.
$2$ 以上の整数 $n$ に対し，$n$ が持つ相異なる素因数の総積を $\mathrm{rad}(n)$ で表します．例えば，$\mathrm{rad}(18)=2×3$ です．次の等式を満たす $2$ 以上の整数 $m$ の総和を求めてください．
$$m=\mathrm{rad}(m)+240$$
公開日時: 2024年12月6日21:13 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$1$ 以上 $15$ 以下の整数の組 $(a, b, c)$ であって
$$(2a + 2b + 2c - 33)^2 = (|2a - 9| + |2b - 11| + |2c - 13|)^2$$
をみたすものは全部でいくつありますか？
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
公開日時: 2024年11月28日19:33 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122} AH||DX DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。
解答形式
半角数字で解答して下さい。