数学の問題一覧
公開日時: 2024年11月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$，$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると，$$OD=OE, DE=2, BC=11$$ が成り立ちました．線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください．
公開日時: 2024年11月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．
公開日時: 2024年11月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
公開日時: 2024年11月14日18:56 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
正整数 $3$ つの集合 $S$ であって，以下を同時にみたすものは全部でいくつありますか？
- $S$ に属する $3$ 数を十進数表記したときすべて $3$ 桁であり，それぞれの桁に $1, 2, ..., 9$ がすべて $1$ 回ずつ現れる．
- $S$ から相異なる $2$ 数 $a, b$ を選ぶ方法であって，$a + b = 1110$ をみたすものが存在する．
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
公開日時: 2024年11月11日0:29 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$
解答形式
半角数字で解答してください。
公開日時: 2024年11月11日0:29 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。
解答形式
半角数字で解答して下さい。
公開日時: 2024年11月4日23:16 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
鋭角三角形$ABC$について、$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。$△ABC$の外接円と直線$EF$の交点の内、劣弧$AB$側の交点を$G$、劣弧$AC$側の交点を$H$とする。直線$BG$と直線$DF$の交点を$I$としたとき、$A,I,H$は共線であった。このとき、以下が成立した。
$$
∠C=60° BC=8
$$
このとき、$AC$の長さは自然数$a.b$を用いて$a+√b$と表せられるので、$a+b$の値を求めて下さい。
解答形式
半角で解答して下さい。
公開日時: 2024年11月3日20:19 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
内接五角形$ABCDE$があり、$∠BAC$＝$∠CAD$＝$∠DAE$である。
また、$AB=12$、$AC=17$、$AD=20$である。
このとき、$AE$の長さは互いに素な正の整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので$p+q$を解答してください。
解答形式
半角で解答してください。
公開日時: 2024年11月2日16:55 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
整数 数列
問題文
初項が$1(a_1=1)$の数列{$a_n$}は、任意の正整数$n$に対し
$$
a_{n+1}^3-10a_na_{n+1}^2+31a_n^2a_{n+1}-30a_n^3=0
$$
を満たしている。
$a_{60}$としてあり得る値すべての総積を求めたい。
ただし答えは非常に大きいので、答えの正の約数の個数を1000で割ったあまりを答えよ。
解答形式
$0$以上$999$以下の整数を半角英数字で入力してください。
(11/7:一部問題文を修正)
公開日時: 2024年10月31日21:05 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円が$AC,AB$にそれぞれ$D,E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とすると以下が成立した。
$$
AB=4 CF=3
$$
$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とするとき、$CG²$の値を求めてください。
解答形式
半角で解答してください。
