数学の問題一覧

三角形 ABC の頂点は A(0,0), B(6,0), C(4,6) である。

AC の中点を通り、BC に垂直な直線の方程式を求めよ。

この直線と AB の交点を求めよ。

この交点から頂点 C までの距離を求めよ。

問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

格子点上を，点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ，点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む．
このとき，2 本の経路が交差しない（頂点共有もしない）組の総数を求めよ．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

三角形 $OAB$ がある．点 $C$ を$\angle CAO=\angle BAO$, $AC\perp CO$ となるように辺 $AB$ に対し点 $O$ と同じ側に取る．
また，点 $B$ から直線 $CO$ に引いた垂線の足を $D$ とする．
$C$ を通り直線 $OB$ に垂直な直線と $D$ を通り直線 $OA$ に垂直な直線の交点を $G$ とするとき,
$CD=17,\, GO=8,\, GC=15$ である．
このとき $AB$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と書けるので，$a+b+c$ を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

1辺が10の正三角形ABCがある.
線分AB上に $AD=3$を満たす点D, 線分BC上に $BE=3$を満たす点Eがある.
線分DEの垂直二等分線と直線ACの交点を $F$とし, 三角形ABCの外接円と交わる点のうち, 直線ABに関して $C$ と反対側にある点を $K$ とする.
直線EFと直線CKの交点を $L$とするとき, $EL$の長さを求めよ. なお, 答えは $\sqrt{a}-b$で表されるため, $a+b$を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす．
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき，$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_n$ は $0$ 以上の整数である．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす．
・すべての正整数 $n$ に対し，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）．
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする．
入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$a,b,c$を正の実数とし、$k$を実数とします。$x$の方程式$x^3-ax^2+bx-c=0$が$3$つの実数解$α,β,γ$を持ち、次が成り立ちます。
・$|α+β|=a+2$
・$|αβ|=b-k$

$γ$を$k$を用いて表してください。

解答形式

解答はある正の整数$p,q,r$を用いて
$γ=-p+\sqrt{q-rk}$
と表せますから、$p+q+r$の値を解答してください。

珍しく良問

線対称かつ点対称な図形Xのうち、
対称軸上に対称点がないようなものは
存在しないことを示してください。

解答形式

日本語で答えてください。大意が伝われば良いです(最低限伝わるようお願いします)。

問題

実数$x，y$が
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしているとき，$x+y$ のとりうる値をすべて求めよ．

解答形式

解答に$sinθ，cosθ$を含む場合は，$cosθ(0<θ<π)$に統一し，記入例にしたがって全て$半角$で解答してください．なお，度数法で解答すると不正解となるので，弧度法を用いてください．
小数などを用いた近似値での解答は不正解となります．
複数の解答がある場合は小さい値から順に上から改行してください．

記入例
3cos(5π/6)
3cos(π/3)