数学の問題一覧

問題

式1の時、式2の解を求めよ。
ただし、数の小さい順に答え､
答えが２つ以上ある場合､「,」を用いること。
例　2分の1と1の時は､1/2,1

式1

$$4a^{2}-4a=-1$$

式2

$$(2a-2)^{10000}$$

問題

式1の時、式2の解を求めよ。
ただし、数の小さい順に答え､
答えが２つ以上ある場合､「,」を用いること。
例　2分の1と1の時は､1/2,1

式1

$$12a^{2}-a=1$$

式2

$$16a^{2}-8a-9a^{2}-6a$$

問題文

$AB=DC=2,AD=3,AC=\sqrt{17}$を満たす等脚台形$ABCD$の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子を持たない正整数$c$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}$と表せるので、$abc$を解答してください。

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

問題文

正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。

問題文

円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

x, y は x^2 + y^2 = 1 を満たす実数である。このとき、、等式 x^2 + y^2 + (y/x)^2 - xy - (y^2)/x - y = 0を満たすx, yは存在するか。 存在する場合はx, yを求め、存在しない場合はそれを示せ。

解答形式

日本語で論述してください。

問1.(この問題の解答は不要。)

$f(x)$を$2$次の多項式とする。
$4$次方程式$f(f(x))=x$が$4$つの実数解$x=x_i(i=1,2,3,4)$を持つとき、
座標平面上の$4$点$P_i(x_i,f(x_i))$が同一円周上にあることを示せ。

問2.(この問題の答えを半角英数字で入力せよ。)

問1において、$f(x)=3x^2-11x-15$の場合について、
実際に$4$点$P_i$が共有する円の半径$r$と中心の座標(p,q)を求め、
$pqr^2$の値を解答せよ。

問題文

$1$ から $30$ までの自然数が書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつの計 $30$ 枚ある。
この中から $1$ 枚を引き，書かれている数字を確認してから束に戻す操作を $11$ 回繰り返す。
この $11$ 回の操作で得られた自然数を小さい順にならべ，$A_{1}$ から $A_{11}$ とする。
$A_{1}$ から $A_{11}$ は以下の条件を満たしている。

＜条件＞
①　$A_{1}$ から $A_{11}$ は相異なる自然数である。
②　データの範囲は $27$ である。
③　データの四分位範囲 [$\mathrm{IQR}$] は $9$ である。
④　四分位数 [$Q_1,Q_2,Q_3$] はこの順に等比数列になっている。
⑤　中央値と平均値 [$\bar{A}$] の差の絶対値は $1$ である。
⑥　$A_7$ から $A_{11}$ までの $5$ つの数の和は $A_1$ から $A_5$までの $5$ つの数の和のちょうど $2$ 倍である。
⑦　$A_{1}$ から $A_{11}$ の中に立方数が $2$ つある。
⑧　このデータのうち四分位数を除いた $8$ 個の数字を $2$ つずつに分けてできた $4$ つの数字の組
　　$(A_1,A_2),(A_4,A_5),(A_7,A_8),(A_{10},A_{11})$ について、それぞれの組に $1$ つずつ素数がある。
⑨　このデータには外れ値が $1$ つ存在する。ただし外れ値は以下の通りに定義する。
　　 [$Q_1-1.5 \times \mathrm{IQR}$ 以下　または　$Q_3+1.5 \times \mathrm{IQR}$ 以上]

問　このデータの要素を決定せよ。

解答形式

$A_1$ から $A_{11}$ までの11個の自然数を半角空白区切りで1行で回答

投稿者より

問題の不備などありましたら，
感想から教えてくださるとありがたいです。

問題文

どの$2$辺の長さも等しくない鋭角三角形$ABC$の外心，垂心をそれぞれ$O,H$とし，辺$BC$の中点を$M$とします.
$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，直線$DE$と直線$AB$の交点を$P$，直線$DF$と直線$AC$の交点を$Q$とすると， $$EF=4　AH=5　PQ||AM$$ が成り立ちました.直線$PQ$と直線$OH$との交点を$R$とするとき，線分$OR$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので，$a+b$の値を解答してください.

解答形式

半角で解答してください.

工夫して答えなさい。

99×99＝？