数学の問題一覧

問題文

半径$66$の円に内接する正$66$角形の対角線(各辺も含む)の長さの$66$乗和を求めて下さい．
但しある長さの$𝑛$乗和とは，与えられた長さ$𝑃_1,𝑃_2…$について$𝑃_1^n + 𝑃_2^n …$を指します．

解答形式

答えは非常に大きくなる恐れがあるので,$2025$で割った余りを求めて下さい.
4/26 19:55 誤った答えが入力されていました。大変申し訳ありません。

問題文

ある町 $A$ がある. 町 $A$ にはいくつかの家と$,$それらを双方向に結ぶいくつかの道路からなる. さらに$,$ 以下の条件を満たす.

・家は $2025$ 個からなり$,$ $1$$,$ $2$$,$ ⋯$,$ $2025$の番号がつけられている.
・道路は $2024$ 本ある.
・どの家からどの家へまでもいくつかの道路を通って移動可能である.

また$,$ 家 $i$ の 便利さ を以下のように定義します. ( $i$ の番号が付けられている家を家 $i$ と呼びます. )
$$
i \times (家iからちょうど1本の道路を通って移動可能な家の数)
$$

さらに$,$ 町 $A$ の スコア を$,$ すべての家の 便利さ の総和と定義します.

道路の結ばれ方としてありうるものすべてについて$,$ 町 $A$ の スコア の総和の正の約数の個数を求めてください.

解答形式

スコア の総和の正の約数の個数を求め$,$ 1行に半角で解答してください.
必要であれば電卓や素数表を用いてください.

正の整数 $m$ に対し,
$$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$
と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.

問題文

それぞれの面に $1,2,3,4,6,9$ が書かれたどの面も等確率に出る $6$ 面サイコロ $D$ があります．
$D$ を $1018$ 回転がしたときを考える．その出た目の総積を $T$ とし，そのときのスコアを以下のように定義します．

• $T$ が平方数のとき， $T$ の正の約数の個数をスコアとする．
• $T$ が平方数でないとき， $T$ の正の約数のうち $6$ の倍数であるものの個数をスコアとする．

スコアの期待値が非負整数 $A$ を用いて $\dfrac{A}{6^{1018}}$ と表せるので $A$ を素数 $1013$ で割ったあまりを求めてください．

解答形式

半角数字で非負整数を入力してください。

$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする．放物線 $y=ax^2+bx+c$ が，$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき，$a,b,c$ の値を求めよ．

答えは，$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ．ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ．

【解答例】
1
-2
-1/3

問題文

次の方程式を解いて、$x$の値をすべて求めてください。
$$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=0$$

解答形式

$a,b,c,d,e$のように解答してください。($π$はpiで$i$(虚数単位)はiで分数は$\frac{1}{2}$の場合は1/2のように解答してください。)

方程式 $x^2+xy+y^3=7$ の表す図形を $y$ 方向に $\fbox{ (1) }$ 平行移動してから $\fbox{ (2) }$ に関して対称移動し，$x$ 方向に $\fbox{ (3) }$ 平行移動し，$\fbox{ (4) }$ に関して対称移動すると，方程式 $x^3-3x^2+xy-y^2+5y=0$ の表す図形となる．

以上の空欄 $(1)\sim(4)$ を適切に補充せよ．ただし，$(1),(3)$ には数値を答え，$(2),(4)$ には以下の語群から言葉を選び答えよ．

【語群】
$\mathrm A.\,x$ 軸
$\mathrm B.\,y$ 軸
$\mathrm C.$ 直線 $y=x$

答えは，空欄 $(1),(2),(3),(4)$ に当てはまる数または記号をそれぞれ $1,2,3,4$ 行目に記して答えよ．
ここで，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
と記すこと．

【解答例】
3
A
-5/13
B

（tan80°-2sin80°）/（1+2cos80°）=tanA°
A=？°

近似値を用いずに求めてください

数値のみ

面積 $1$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ に対し，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\mathrm N$ とする．$8$ 直線 $\mathrm{AL},\mathrm{AM},\mathrm{BM},\mathrm{BN},\mathrm{CN},\mathrm{CK},\mathrm{DK},\mathrm{DL}$ によって囲まれてできる $8$ 角形の面積を求めよ．

ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

正 $6$ 角形 $\mathrm{ABCDEF}$ の中心を $\mathrm O$ とし，正 $6$ 角形の $6$ 個の辺と，$\mathrm O$ と各頂点を結ぶ $6$ 個の線分の，計 $12$ 個の線分を考える．このとき，これらの線分を辺とする正三角形が $6$ 個できている．これらの線分のうちの幾つかを取り除いて，正三角形が $1$ つもできない状態を作りたい．そのような取り除き方は何通りか求めよ．

$6$ 個のチームが総当たり戦をおこなう．つまり，各チームは他のチームとそれぞれ $1$ 回ずつ試合をおこない勝敗を決める．ただし，各試合において引き分けはなく，いずれが勝つかは等確率であるとする．
このとき，$3$ 勝 $2$ 敗のチームがちょうど $3$ チームできる確率を求めよ．

答えは互いに素な自然数 $\eta,\zeta$ を用いて $\displaystyle\frac \eta\zeta$ と表されるので，$1$ 行目に $\eta$ を，$2$ 行目に $\zeta$ を記して答えよ．

AクラスとBクラスの生徒の合計は24人である．鉛筆とボールペンについて在庫が何本かあり，それらを生徒に配りたい．Aクラスの生徒に鉛筆を7本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなり，Bクラスの生徒にボールペンを6本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなる．そこで，逆にAクラスの生徒にボールペンを，Bクラスの生徒に鉛筆を配ると，クラス毎に同じ本数だけ，在庫をちょうど配りきることができた．(1人あたりに配った本数は，AクラスとBクラスでは同じとは限らない．)
Aクラスの生徒の人数としてありえる数を全て求めよ．

答えは，小さい順に空白を入れずカンマで区切って記入せよ．例えば，1と2と3があり得るなら
1,2,3
と答えよ．