数学の問題一覧

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，辺 $AB$ の中点を $M$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．直線 $AD$ と $CM$ の交点を $P$ とし，直線 $BP$ と $AC$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました．$$AB=21,\quad CD=12,\quad CE=16$$
このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ とし，外接円を $Ω$ とする．直線 $CH$ と $AB$ の交点を $D$ とし，直線 $AH$ と $Ω$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $BH$ と $Ω$ の交点のうち $B$ でない方を $Q$ とする．直線 $CH$ と $PQ$ の交点を $R$ とすると，以下が成立しました．
$$DH=3,\quad HR=4,\quad AD=5$$
このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.

解答形式

与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1

問題文

いずれも $0$ でない $4$ 個の複素数 $x,y,z,w$ が
$$x+y+z+w=30$$ $$x^2+y^2+z^2+w^2={30}^2-2$$ $$x^3+y^3+z^3+w^3=30^3$$ $$x^4+y^4+z^4+w^4=2026$$
を満たします．このとき，$xyzw$ の値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $10$ 次方程式
$${x^{10}+2x^9+4x^2+3x-2026=0}$$ の重複を含めた $10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{\alpha_k}}$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $n$ 次方程式 $(n \ge 1)$
$${x^n+nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+...+n!\left(=\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{P}_{n-k} x^k\right)=0}$$ の重複を含めた $n$ 個の複素数解を $\alpha_{n,1},\alpha_{n,2},...,\alpha_{n,n}$ とし，これらが $1$ でないことが証明できるので，
$${g(m)=\prod_{n=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha_{n,k}-1}\right)}$$ とします．以下の値を求めてください．
$$\frac{g(2025)g(2026)}{g(2025)+g(2026)}$$

解答形式

求める値は整数になるので，それが $3$ で割り切れる最大の回数を解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${2026}$ 次方程式

$${x^{2026}+2025x-2024=0}$$

の重複を含めた ${2026}$ 個の複素数解を ${α_1,α_2,...,α_{2026}}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{2026}α_k^{2026}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $6$ 次方程式
$${x^6+3x^5+9x^4+27x^3+81x^2+243x+2026=0}$$ の重複を含めた $6$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_6$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{6}\alpha_{k}^{14}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$2027$ 次の多項式 $f(x)$ は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数 $n$ について $f(n)=\frac{243}{n+1}$ をみたします．また，
$${f(x)=0}$$ の重複を含めた $2027$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$ とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数 $2029$ で割ったあまりを $M$ とします． $${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$ 以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$

解答形式

整数で解答してください．
解答すべき値が「 $M+S_1$ を $2029$ で割ったあまり」ではないことに注意してください．