数学の問題一覧

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

どの位の数字も $0$ でない $11$ 桁の正整数であって，どの連続する $4$ 桁の正整数も $11$ の倍数であるようなものは何個ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

円 $\Gamma$ があり，この接線 $l,m$ を引いたところこれらは点 $H$ で直交しました．また，$l,m$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $A,B$ とし，$\Gamma$ の内部に $\angle{APB}=90^\circ$ となる点 $P$ をとり，さらに直線 $AP,BH$ の交点を $Q$ ，直線 $AH,BP$ の交点を $R$ とします．このとき，$3$ 点 $A,P,Q$ はこの順に並び，三角形 $ABQ$ の面積が $72$ ，$PR=30$ となりました．線分 $BR$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。

(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。

(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。

解答形式

(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。

分子の値(空白(半角1マス))分母の値　と解答してください。

また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、

1-3π 2

問題文

実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。

(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。

(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。

解答形式

(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。

分子の値(空白(半角1マス))分母の値　と解答してください。

また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、

1-3π 2

問題文

nを自然数、T(n)をcosθの多項式としてT(n)＝cosnθと定める。このとき、以下の漸化式が成り立つことを与える。

$$T(n+2)-2cosθ×T(n+1)+T(n)＝0$$

k,m,s,t,u,a,b,cを自然数、p,qを素数、θを実数とする。ただし、k≧3，a

問題文

三角形 $ABC$ の外接円の半径は $2026$ です．この三角形の垂心を $H$ とするとき $AH^2+BC^2$ を求めてください．

問題文

$$x^2+2027x+a$$$$x^2+2026x+b$$
この２つの二次方程式に共通の解が１つある時、最小の自然数a、b、それぞれの値を求めない。

解答形式

1行目にaの値を、2行目にbの値を入力してください。いずれもa=、b=は必要ありません。

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

問題文

ある素数$p$に$1$を足したところ、平方数になりました。このような$p$としてあり得る値を全て求めてください。

解答形式

$p$としてあり得る値の総積を求めてください。

問題文

あなたは今日突然術式が覚醒し$,$ 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し$,$ 各日の遭遇については$,$ 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$$,$ 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について$,$ 遭遇する前に確率 $p_k (0

問題文

三角形$ABC$について,外心を$O$,垂心を$H$とするとき,

$BC=2026$,$OH=777$,$BC \parallel OH$が成立した.

直線$AC$上に点$D$を,直線$AB$上に点$E$を,$BD=CE=BC$となるようにとる. ($D,E$は$B,C$とは異なる)

このとき，$DE$の長さを求めよ．

解答形式

$DE$の長さは互いに素な自然数$a,b$を用いて

$\sqrt{\frac{a}{b}}$と表されるため，$a+b$の値を半角数字で解答してください．