数学の問題一覧

次の積分の値を求めよ．
$$
I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(1+\sin x+\cos x)\,dx
$$ただし，$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{4}\log\left(\frac{1}{\tan x}\right)\,dx=G$ とする.

問題文

問　凸四角形$ABCD$が$AB+CD=BC+DA$を満たしている。次の4つの円の中心を$W,X,Y,Z$とする。
・線分$AB$と、線分$DA,CB$の$A,B$方向での延長線に接する円。
・線分$BC$と、線分$AB,DC$の$B,C$方向での延長線に接する円。
・線分$CD$と、線分$BC,AD$の$C,D$方向での延長線に接する円。
・線分$DA$と、線分$BA,CD$の$D,A$方向での延長線に接する円。
$WX=YZ$になるための四角形$ABCD$の必要十分条件を$A,B,C,D$以外の点を用いずに示せ。

解答形式

必要十分条件を求め、証明を記述してください。

問題

$$y=(1+3+5+\cdots +(2x+1))$$と、$$y=(2x+4x+6x+\cdots +(2x^{2}))+x-5$$の交点を求めよ。ただし、$x>0$とする。

解答形式

$x,y$が共に自然数となる$(x,y)$のときの$xy$の値を求めてください。

1=0
2=0
3=0
4=4
6=8

上記の条件が成り立つとき、次の「X」がとりうる最大値を答えよ。

5＝X

回答形式　数値を入力してください

問題

$x^{6}=55-12\sqrt{21}$の正の実数解を求めよ。

解答形式

少数第3位まで求めてください。

$\quad$正整数 $m$ に対し, $2^k | m$ を満たす最大の非負整数 $k$ を $v_2(m)$ とする.
$\quad$次の条件を全て満たす正整数の組
$$(a_1,a_2,\dots,a_9)$$
の総数を求めよ.

• $a_1=1,a_{9}=144$.
• $2\leq i \leq9$ を満たすすべての整数 $i$ について,
  $$a_i=2a_{i-1}\quad または\quad a_i=a_{i-1}+2^{v_2(a_{i-1})+1}$$
  が成り立つ.

問題文

$(1)\ \tan\theta\sin2\theta\text{を}\cos2\theta\text{の式で表せ。}$

$(2)\ \tan\left(\frac{\pi}{24}\right)\text{を求めよ。}$

$(3)\ \pi<3.144\text{であることを証明せよ。}$

$\text{必要であれば，}\sqrt{2}<1.414,$

$\ \sqrt{3}>1.732,\ \sqrt{6}<2.449
\text{を使ってよい。}$

解答形式

記述式。明らかな飛躍や論理の破綻はダメヨ。

問題

$四角形ABCD$は平行四辺形で対角線の交点を$点E$とし、$対角線BD$上に$点F$をとる。
$BF=\frac{1}{2}FD$,$CE=CF$,$\angle CBF+\angle CFE=90°$,$AD=10$の時、$四角形ABCD$の面積は？

解答形式

$a\sqrt{b}$の形になるので、$a+b$の値で答えてください。

問題文

三角形ABCについて、内心をIとし、∠Cの二等分線と辺ABの交点をDとする。また、三角形IABの外心をOとし、外接円と辺ACの交点のうちAと異なるものをEとする。このとき、4点O,A,D,Eは同一円周上にあることを示せ。

解答形式

送ってくれれば多分見ます

問題

$n$を自然数とし、$$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{n}-1}$$を因数分解したときの因数の数を$n$を用いて求めよ。

数学問題

$a,x,y,z$をそれぞれ異なる自然数とし、$x>y>z$とする。
この時$$a^{2}=\frac{xyz(xyz±\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}-z^{2})(y^{2}-z^{2})}}{(y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}-x^{2}y^{2})}\\$$を成り立たせる$a,x,y,z$の組はあるか。

解答形式

ある場合はその組を答え、ない場合はその証明をしてください。

問題文

$x~$についての方程式
$$x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0$$
を考える．次の問いに答えなさい．ただし，1/6公式，1/30公式については証明なしに用いてよい．

$(1)~$この方程式の複素数解をすべて求めなさい．

$(2)~(1)$で求めた4つの解について，次の(ルール)に従って座標平面上に点を取ることを考える．

(ルール)　方程式の解が$~a+bi~$の形であらわされるとき，座標平面上に点$(a,b)$をとる．解が実数のときは$~b=0~$とみなす．たとえば，解が$~3-2i~$ならば，座標平面上に点$(3,-2)$をとる．

このルールに従って$(1)$の結果に基づいて4つの点を取り，そのうち$~y~$座標の値が最小のものを除いた3点をすべて通る放物線と$~x~$軸で囲まれた領域$~A~$の面積$~S~$を求めなさい．

$(3)~$領域$~A~$を$~x~$軸周りに1回転させてできる立体の体積$~V~$を求めなさい．

解答の際の注意

出題者ジャッジにより採点をします．
簡単に求める過程も示してください．
解説の内容に誤りがあればご指摘ください．