数学の問題一覧
問題文
正十二面体について次の(1)〜(3)を答えなさい
(1)12色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただし全ての色を使うこと。
(2)3色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただしどの色も必ず一回は使い、同じ色は隣接しても良いものとする。
(3)1つの頂点をAとする。頂点Aから出発し、1秒ごとに今いる頂点から辺でつながっている隣の頂点へ、それぞれ 1/3の等確率で移動する点Pを考える。点Pが出発してからちょうど10秒後 に、最初にいた頂点Pの位置(頂点A)に戻っている確率を求めよ。
解答形式
1行目に(1)の答えのみを答えてください。
(2)は2行目に答えてください。
(3)は3行目に答えてください。
x/yのように分数の場合、x+yの値を表記してください。
例
↓
1000通り
333通り
33333
正整数の多重部分集合 $U$ であって以下の条件を満たすものを 良い集合 と呼ぶことにします。
- $a\in U$ が奇数なら $a$ の重複度は $2$ 以下.
- $a\in U$ が偶数なら $a$ の重複度は $1$ 以下.
良い集合 $U$ について, $U$ に含まれ重複度が $1$ である奇数の個数を $x$, $U$ に含まれ重複度が $1$ である偶数の個数を $y$ としたとき, 要素の総和が $N$ であるような $U$ 全てについて, $2^x\cdot(-1)^y$ の総和を $f(N)$ とします. 以下の値を求めてください.
$$f(1)+f(2)+\cdots +f(10000)$$
問題文
$\ell,m,n を0以上の整数とする。$
$動点Pは、数直線上の0をスタートとし、以下の操作をn回行った後の座標をX_{n}とする。$
$1個のサイコロを1回振って1か2の目が出たら正の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$3か4の目が出たら負の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$5か6の目が出たら移動しないとする。$
$ただしmは、移動した回数を表し、初期値は0であり、$
$1〜4の目が出て移動するのが1回目なら1、m回目ならmであり、$
$5か6の目が出て移動しないときは増えずに、それまでの移動回数を保持する。$
$ゆえにmはサイコロを振った回数(操作回数)と同じになるとは限らない。( m\leq n)$
$X_{n}<\frac{1}{2^{\ell}} となる確率P_{\ell}を\ellとnを用いて表せ。必要ならばmを使ってもよい。 $
難易度
難易度は難関大学の入試問題レベルだと思います。
苦労して作ったので良問であってくれれば嬉しいです。
問題
正整数$a,b,c$において,
$$
(a^{2}+1)(a+b)=abc-1
$$をみたす組$(a,b,c)$の総和を求めよ.
答えの値違いました、すいません。
問
$0\leq\theta\leq\pi$を満たすとします。
$\alpha=\sin\theta$
$\beta=\sqrt{3}\cos\theta$
$\phi=\pi(\alpha+\beta)$
$\gamma=\sin(\frac{\phi}{4})$
$\delta=\cos(\frac{\phi}{4})$
としたとき、関数
$$
f(\theta)=\frac{1}{2}(\gamma-\delta)^{2}+(\gamma-\delta)
$$
の最大値、最小値とそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めなさい。
注
最大値:その時の$\theta$
最小値:その時の$\theta$
のように解答してください。ただし$\theta$は弧度法での表記にすること。
$\pi$を含む分数は分子に$\pi$を、負の数は分子に"-"を持たせてください。
Texでの入力形式に合わせて入力してください。"$"マークは不要です。
問題文
ある正の整数の組$(a,b,c)$が以下の等式を満たした. このとき, この$3$数の組としてありうるものはどれだけ存在するか. 以下の選択肢から選び回答せよ. あ もしくは い を選ぶ際はその組の数も求めよ.
$a^2+b^2=2026+c^2$
あ 10000組未満 い 10000組以上だが有限個しか存在しない う無数に存在する
解答形式
あ,または い を解答される場合は組の数を, う を解答される場合は う を入力ください.
問題文
一辺の長さが1である白い小立方体と黒い小立方体がそれぞれたくさんある. これらを,同じ色の面同士が隣り合わないように組み合わせて一辺100の立方体$ABCD-EFGH$を作成した. ただしAが含まれる小立方体の色は白とする.この立方体を平面$BDE, BDG, BEG, DEG$で切断し, 中央に残った立体を$P$とする. さて, ここで一辺の長さが$\sqrt{2}$である正四面体, また斜辺が$\sqrt2$の直角二等辺三角形を底面にもち高さが$1$の直角三角錐が白黒どちらもたくさんある. これら組み合わせ表面・内部ともに色が$P$と一致する立体を作成したい. それぞれいくつ必要か. ただし, 白い立体と黒い立体は内部もそれぞれ白色, 黒色であるものとする.
解答形式
【(白正四面体の個数)1(黒正四面体の個数)1(白直角三角錐の個数)1(黒直角三角錐の個数)】の数字を解答してください.
たとえば{(白正四面体), (黒正四面体), (白直角三角錐), (黒直角三角錐)}={5, 6, 10, 23}ならば$516110123$と解答してください
問題文
AさんとBさんが以下のようなゲームをする.
・$n$を正の整数とし, $1\leq p,q\leq 2n$を満たす整数 $p, q$ に対し座標平面上の点 $(p,q)$ であらわされるような点全体を$S$, $1\leq r,s\leq 2n-1$を満たす整数 $r,s$ に対し座標平面上の点$(r+\tfrac12,s+\tfrac12)$であらわされるような点全体を$T$とする.
・ Aさんが, $S$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これを, どの点とも結ばれていないような$S$上の点が存在しなくなるまで繰り返す. ただし, どの2線分も, 端点を含め共有点を持ってはいけない.
・ Bさんが, Aさんがひいたどの線分とも端点を含め共有点を持たないように, $T$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これをBさんが好きなだけ繰り返す. このとき, Bさんが引いた異なる2線分が共有点をもってもかまわない.
・Bさんが引いた線分によって多角形が一つでも形成されていればBさんの, そうでない場合はAさんの勝利とする.
互いが最善を尽くすとする.ここでAさんは長さが$\sqrt2$の線分を引く回数をなるべく減らしたうえで勝利したい. $n=2026$のとき, Aさんは最低何本の長さ$\sqrt2$の線分を引けば勝利できるか.
解答形式
整数でお答えください.
問題文
正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.
解答形式
正整数で解答して下さい
問題文
ある4桁の数字$A_{(10)}$がある. この数字を7進法, 8進法, 9進法, 11進法, 12進法に書き換えた. すると, 元の数も含むどの数字についても0と9をどの位にも持たず, 数字を構成する数の組み合わせ(重複を含む)について並べ替えにより得られる数字の種類の数が一致した. 元の数字$A_{(10)}$を求めよ.
解答形式
正整数で解答して下さい