数学の問題一覧

問題文

$\triangle ABC$において，内心を$I$，重心を$G$とし，$I$ から$BC$，$CA$，$AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$D$，$E$，$F$とすると，$G$は$EF$上にあり，$IG=1$，$BD:DC=3:5$を満たした．このとき，$\triangle ABC$の周長の$2$乗を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

外接円の直径が$5$，$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において，$\triangle ABC$の内心，$B$傍心をそれぞれ$I_1$，$I_B$とし，$\triangle ADC$の内心，$D$傍心をそれぞれ$I_2$，$I_D$とすると，$I_1$，$I_2$，$I_B$，$I_D$は同一円周上にあり，$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした．$AC$の中点を$M$としたとき，$BM+DM$を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において，$AC$の中点を$M$とすると，$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$，$Q$をとることができ，$B$，$P$，$Q$，$C$はこの順にあった．また，$B$を直線$MQ$について対称移動した点を$X$とすると，$AX=11$，$PX=18$を満たした．このとき，$BC$の長さの$2$乗を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形$ABC$において，外心を$O$とし，$\angle OAB$の二等分線と$BC$の交点を$D$とすると，$BD＝OD$，$\angle AOD >90^\circ$を満たした．$AO＝7$，$AD=10$であるとき，$BC$の長さを求めよ．

解答形式

求める値は正整数$a,b$を用いて$a+\sqrt b$と表せるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

$4$ 行 $6$ 列のマス目の各マスに $1$ 以上 $12$ 以下の整数を書き込みます. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目にあるマスに書かれた数を $a_{i,j}$ で表すとき, 以下を満たす書き込み方は何通りありますか？

• $j=1,2,3,4,5$ について以下の値が正の奇数となる.
  $$
  \min_{1\leq i\leq 4}(a_{i,j+1}-a_{i,j})
  $$

$4桁の数Xについて、Xの各位の数字を1桁ずつ足し合わせた和をk(X)とおく。$
$4桁の数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

三角形ABCがある。初めに頂点ABCいずれかの頂点にランダムに駒を1つ置き、
操作nを繰り返し行うことで駒を移動させる。

$操作n:$$ カードがそれぞれn，n+1，n+2枚入った箱ABCを用意する。$$それぞれの箱にあたりの
カードが3，4，2枚入っている。$$
頂点Aにいる時は、まず箱BかCをランダムに選び、$$選んだ箱からカードを1枚引く。$$箱Bであたりを引くと頂点Aにそのまま、$$箱Cであたりを引くと頂点Bに、$$どちらの箱においてもハズレを引くと頂点Cに移動する。$$頂点Bにいる時は、箱Aからカードを1枚引き、$$あたりをひくと頂点Aに、$$ハズレだと頂点Cに移動する。
$$頂点Cにいるときは何もしない。$

$操作3→操作4→操作5→・・・→操作kを行った時(3 \leq k)頂点Aに駒がいる確率を求めよ。$

問題文

正整数 $n$ を与えたところ，以下の等式をみたす実数 $x$ がちょうど $4$ つ存在しました．
$$x^2 - 18\sqrt{n}|x| - 30n + 1110 = 0$$$n$ のとり得る値の総和を求めて下さい．

解答形式

半角英数にし，答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

nを素数、o,kを正の整数とする。

2ⁿ+5⁰=k²

をみたすn,o,kの組(n,o,k)をすべて求めよ。

答えとなるn,o,pの値の総和を回答してください

問題文

$$a,bは負でない整数とする。$$$$このときa!+b!=(a+b)!$$$$を満たす組(a,b)を全て求めよ。$$

解答形式

組(a,b)の個数を入力してください。

$
f(x,n)=x^{2^{n＋1}}-x^{2^{n}}とおく。
$
$
f(a,b) と f(c,d) の最大公約数として
考えられるものの最小値を求めよ。
$
$
ただし、a,b,c,dはいずれも2以上の自然数で、a\neq b \neq c \neq d とする。
$

$
f(x)= 2^{2^{x}x}-1
$
とする。このとき、
$
f(1)+f(2)+f(3)+・・・+f(2024)=A
$
とすると、Ａの一の位の数字は何になるか。