数学の問題一覧

$$\left\lfloor \dfrac n2 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n3 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n6\right\rfloor $$が素数になるような自然数 $n$ のうち $10$ 番目に小さいものを求めてください．

東君の家に $9$ 人の友達が遊びにきたので，東君のお母さんは $10$ 人に $1$ 枚ずつクッキーをくれました．今， $10$ 人は円形のテーブル席に等間隔に座っており，次の操作に従ってクッキーを渡します．

操作 $\alpha:$ ある子がその対角線上に座っている子にクッキーを渡す.

操作 $\beta:$ ある子が時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡すと同時に，別のある子が反時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡す．

適当な回数 $\alpha, \beta$ を繰り返すことで実現可能なクッキーの配分は何通りありますか．
ただし， $10$ 人は区別し，クッキーは区別しないものとします．

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

問題

$図形ABCD$があり、$\angle DAB=\angle DCB=15°,\angle ABC=90°,$$AB=2\sqrt{3},CB=6$のとき$図形ABCD$の面積は$\sqrt{a}+b$となる。このときの$a+b$の値を求めよ。ただし、$AD\leq AB$とする。

問題

$\angle ABC=8°,\angle ACB=100°$である$△ABC$がある。$辺BA,BC$をそれぞれ$点A,C$の方向へ延ばし、$半直線BA,BC,辺AC$に接する$円O$をつくる。$点A,C$と$円O$の中心を結んだ線と$円O$との交点を$点D,E$とする。$円O$の$孤AC$上であり、$辺AC$の反対側に$点F$をとるとき、$\angle DFE$の大きさを求めよ。

解答形式

$\angle ,°$は要りません。

問題

$四角形ABCD$があり、$AB=15,BC=1,CD=26$である。また、$AC,BD$を結ぶ。このとき$△ABC$の内接円の半径を$r_{1},△ABD$の内接円の半径を$r_{2},△ACD$の内接円の半径を$r_{3},△BCD$の内接円の半径を$r_{4}$とする。このとき$r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}$であり、$AC×BD=420$であった。
このときの$四角形ABCD$の面積を求めよ。

長方形ABCDがあり
ADがBCより上
AD上にAE=3cmとなるEを取り
AB上にAF=2cmとなるFを取る。
FとEを結ぶ
BとDを結ぶ
AとCを結ぶ
ACとEFの交点をG
ACとBDの交点をHとする。
またEとHを結びBCとの交点をI
IとGを結ぶBDとの交点をJとする。
AB=3cm
BC=4cm
であるとき。
三角形GIEの面積を求めよ

解答形式

問題

$y=x^{2}$のグラフ上に$x$座標が$n-1,n,n+1$である$点A,B,C$がある。$点A,点B$を通る直線をグラフ$l$、$点B,点C$を通る直線をグラフ$m$とする。グラフ$l,m$と$y$軸の交点を$点D,E$とするとき$△DEB$の面積は$ab^{c}$と表せるこのときの$a,b,c$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$a$の値を、二行目に$b$の値を、三行目に$c$の値を、書いてください。

問題

正$n$角形があり、次の手順で$点A,B,C$を定める。
手順$1$「$n$の値をルーレットにて決める。($3\leq n\leq 2m$)」
手順$2$「ルーレットにて$点A$を手順$1$で定めた正多角形の頂点上にとる。」
手順$3$「同じようにして$点B$を$点A$と異なる頂点上にとる。」
手順$4$「同じようにして$点C$を$点A,点B$と異なる頂点上にとる。」
このとき、$△ABC$が直角三角形となる確率は
$$\frac{a}{b(c-d)}\sum_{k=e}^{f}\frac{g}{h-i}\quad$$となる。($a\geq g$とする。)このとき$a,b,c,d,e,f,g,h,i$に当てはまる数を下の(1)~(20)から選んでください。(同じものを複数回選んでもよい。)

(1)$\frac{k}{4}$
(2)$\frac{k}{2}$
(3)$k$
(4)$2k$
(5)$4k$
(6)$\frac{m}{4}$
(7)$\frac{m}{2}$
(8)$m$
(9)$2m$
(10)$4m$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$3$
(14)$4$
(15)$5$
(16)$6$
(17)$7$
(18)$8$
(19)$9$
(20)$10$

解答形式

一行目に$a$に当てはまる数の番号を、二行目に$b$に当てはまる数の番号を$\cdots $といった感じで答えてください。

問題

1辺が$2$の$正方形ABCD$と$正三角形ADE$($辺AD$を共有し、$\angle EAB=150°$)がある。$EB$上に$点F$をとり、$点F$と、$点C$を結んだ。
そして、$\angle GFC=\angle HFC=120°$となる$点G$、$点H$をそれぞれ$辺EA,ED$上にとった。その時$GF+HF+CF=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$となった。
また、$△CDE$の外接円の中心を$O_{1}$、$△BCE$の外接円の中心を$O_{2}$とし、$\angle AO_{1}O_{2}=\angle O_{2}O_{1}I$である$点I$をとる。
このとき次の問いに答えよ。

(1)$△GHF$の外接円の面積と$△O_{1}O_{2}I$の外接円の面積の比は$a:b$である。このときの$a+b$の値を求めよ。

(2)$AF$の長さは$a\sqrt{b}-c$である。このときの$a+b+c$の値を求めよ。

(3)$\angle FO_{1}O_{2}:\angle O_{2}O_{1}I:\angle IO_{1}C:\angle CO_{1}B=a:b:c:d$である。このときの$a+b+c+d$の値を求めよ。

(4)$△BEO_{1}$の外接円の中心を$点O_{3}$とする。$\angle O_{3}O_{2}O_{1}=a°$とするとき、$a$の値を求めよ。

(5)$\angle BJO_{1}=90°$である$点J$を$辺O_{1}O_{2}$上にとる。また、$EK=\sqrt{6}$である$点K$を$辺EO_{1}$上にとる。$点C,F,J$を通る$円O_{4}$と$点J,K$を通り、半径が$\sqrt{2}$である$円O_{5}$が重なる面積は$\frac{a\pi+b}{c}$である。このときの$a+b+c$の値を求めよ。

解答形式

$n$行目に($n$)の答えを書いてください。

解説専用ページです。
詳しく知りたい解答があれば質問という機能を使い、質問してください。

問題

整数$a,b,c,d$を用いて表されるグラフ$((\sqrt{1-(x+2a)^{2}}-1)^{2}-(y+2b)^{2})((\sqrt{1-(y+2c)^{2}}-1)^{2}-(x+2d)^{2})=0$
の$a,b,c,d$を整数の存在する範囲(0を含む)で個々に変化させていき、それぞれの値での形を残していく。このようにして出来上がる模様の名前を答えよ。

解答形式

漢字3文字$+$平仮名1文字で解答してください。