数学の問題一覧
問題文
正三角形 $ABC$ の内部を以下のように歩く移動するペンギンがいる．
・ 常に直進するが，辺（頂点を除く）にぶつかった場合は，辺に対して今移動してきた直線と対称な直線へ方向転換する．頂点についた場合，その時点で歩行をやめる．
また，$0\leq p \leq 1$を満たす実数 $p$ に対して，$f(p)$を以下のように定める．
・$f(p)$は，$AC$ を $p:1-p$ に内分する点を $D$ とし，このペンギンがはじめ $B$ にいて、$D$ に向かって直進したときの，ペンギンの歩行が止まるまでに辺（頂点を除く）にぶつかった回数
正整数 $n$ に対して，$f(p)=n$ を満たす $p$ の総和が $9$ であったとき，$n$ としてありうる値の総積を求めてください．
解答形式
非負整数を半角英数字で解答してください．
問題文
$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。
この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$AB>AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AD$ 上に $AP:PD=AB:BC, AQ:QD=AC:CB$ を満たす点 $P,Q$ をとり、$AC$上に点 $R$ 、$AB$上に点 $S$ を $BC//PR//QS$ を満たすようにおいた。$\triangle APR$ の外接円と $\triangle AQS$ の外接円の交点を $T(\neq A)$ 、$\triangle BCT$ の内心を $I$ 、直線 $ RS $ と直線 $BI$ ,直線 $CI$ の交点を $U,V$ 、線分 $BC$ ,線分 $UV$ の中点を $M,N$ としたところ$$MN=5,UV=16$$であった。$\triangle BCT$ の内接円の半径が $2$ のとき、$IT$ の長さを求めよ。
解答形式
求める値の二乗は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$と表せるので、 $p+q$ の値を答えてください。
問題文
$314$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．
- $i=1,2, \dotsc,314$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．
なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．
- はじめに $314$ 人それぞれに人$1,$ 人$2,$ ... 人$314$ と名付け，次に，人$i$ $(2 \le i \le 314)$ に $1$ 以上 $314$ 以下のいくつかの正整数を与える．そして， $i=1,2, \dotsc,314$ について以下を繰り返す．
- $i=1$ ならば人$1$ が叫ぶ．そうでないなら，まだ叫んでいない人それぞれについて，与えられた数の集合を $S$ として，$S$ の中にもう叫んだ人$j$が含まれている場合，その人が数 $i$ を叫ぶ．
このたけのこニョッキが成功するような，$313$ 人に対する正整数の与え方の場合の数が $2$ で最大何回割れるかを解答してください．ただし， $314$ 人の名付け方は固定されているものとします．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．
解答形式
求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．
問題文
$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．
解答形式
求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．
問題文
任意の自然数$i$に対して、$z_i$は$z_i^6=1$を満たす複素数である。複素数$w$について、$w= \sum_{k=1}^{100}z_k$とするとき、$w$がとりうる値の個数を求めよ。
解答形式
自然数(半角入力)のみで答えてください。
問題
半径 $1000$ の円の形をした平坦な地形の島がある。この島を訪れたトレジャーハンターのアリスは、この島のある $1$ 点 $\mathrm{T}$ の真下に宝が埋まっていることは知っているが、$\mathrm{T}$ の位置は知らない。アリスは、自分のいる地点と $\mathrm{T}$ との距離を正確に測る探知機を使って $\mathrm{T}$ にたどり着こうとしている。
はじめ、アリスは島の中心点 $\mathrm{A_0}$ にいる。この後、アリスはターン制で行動を繰り返す。$n=1,2,\ldots$ に対し、$n-1$ ターン目の行動が終わった後のアリスの位置を $\mathrm{A_{n-1}}$ とする。$n$ ターン目でアリスは以下の行動をとる:
$n$ ターン目の行動:
アリスは、今いる地点 $\mathrm{A_{n-1}}$ からちょうど距離 $1$ だけ離れた点 $\mathrm{A_{n}}$ に移動する。その後、探知機を使って線分 $\mathrm{TA}_n$ の長さ $d_n$ を正確に測る。
さて、あるターンで $d_n=0$ となった時、アリスは今いる地点の真下を掘り起こして宝を見つける。$\mathrm{T}$ の位置にかかわらず、アリスがうまく行動すれば $N$ ターン目で確実に宝を見つけることができるような正の整数 $N$ の最小値を求めよ。
解答形式
半角数字のみで1行目に入力せよ。