数学の問題一覧
$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．
$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について，線分 $AC$ の中点を $M$ とし，内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り，三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする．$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき，線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
体積が1である四面体OABCの辺OA, OB, OC上をそれぞれ点P, Q, Rが別々に動くとき，三角形PQRの重心Gが動き得る領域の体積を求めよ。
半角で入力し，分数は 分子/分母 の形で入力してください。
問題文
三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ をとると $DB＝DC,AC＝AD, \angle DBC=19^{\circ}, \angle ABD=30^{\circ} $ が成立したので $\angle BAC$ の大きさを度数法で解答せよ．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap
問題文
鋭角三角形 $ABC$ があり， $B$ から $AC$ への垂線の足を $D$ とし，重心を $G$ ，垂心を $H$ とする．このとき $4$ 点 $B,C,G,H$ は共円であり$AD＝3,CD＝5$であったので， $AB$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE
問題文
$AB=5, AC=8, \angle A=60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，外接円の $A$ を通らない弧 $BC$ の中点を $M$ とする．相異なる $4$ 点 $P,Q,B,C$ がこの順で同一直線上に並び，$\angle APB:\angle MPB=\angle AQB:\angle MQB=3:1$ が成立した．線分 $PQ$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap
問題文
三角形 $ABC$ があり， $ \angle ACB$ の二等分線と $AB$ の交点を $D$ とし，線分 $BC$ 上に点 $P$ ，線分 $AC$ 上に点 $Q$ をとると相異なる $4$ 点 $A,C,D,P$と$B,C,D,Q$ はそれぞれ共円であり $CP＝3,CQ＝4,AB＝15$ が成立した．このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答せよ．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE
問題文
設問2
容器Aには食塩 $X_0 = 10$g を含む食塩水が全量 $M_A = 100$g、容器Bには食塩 $Y_0 = 60$g を含む食塩水が全量 $M_B = 200$g 入っている。1回の操作として、以下の(i), (ii)を順に行う。
(i) 容器Aから $50$g の食塩水を取り出して容器Bに移し、よく撹拌する。
(ii) 容器Bから $50$g の食塩水を取り出して容器Aに移し、よく撹拌する。
$n$ 回の操作が終了した後の容器A, B内の食塩の質量をそれぞれ $X_n, Y_n$ とする。$X_n$ および $Y_n$ を求めよ。
解答形式
例）ひらがなで入力してください。