数学の問題一覧
問題文
$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式
$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$
が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．
$S(1)$ を求めよ．
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、3+√3+π/2
問題文
以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$
このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} {\alpha_k}^{100}$$
解答形式
整数で解答してください．
補足
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題の改題です．
問題文
以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$
このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$
解答形式
整数で解答してください．
補足
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．
問題文
以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$
このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$
解答形式
整数で解答してください．
補足
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．
問題文
円 $\Gamma$ に内接する不等辺三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ とし，線分 $BC$ の中点を $M$ とします．線分 $AB,AC$ に接し $\Gamma$ に点 $T$ で内接する円が一意に存在するのでこの中心を $S$ とし，直線 $AI$ が $\Gamma$ と再び交わる点を $V$ とします．また，三角形 $STV$ の外心を $P$ とすると，線分 $IP$ 上の点 $H$ が以下を満たしました．
$$ \angle TAV = \angle HMI, \quad \angle THP = \angle TSV $$さらに， $SV = \sqrt{39}, \ MV = \dfrac{198}{53}$ が成り立つとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正の整数 $a,c$ および平方因子を持たない正の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a \sqrt{b}}{c} $ と表せるので， $a+b+c$ の値を解答してください．
解答形式
正の整数を半角で解答．
