数学の問題一覧
問題文
正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。
解答形式
互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。
問題文
正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。
解答形式
0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。
問題文
円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。
解答形式
0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。
問題文
$AB=DC=2,AD=3,AC=\sqrt{17}$を満たす等脚台形$ABCD$の面積を求めよ。
解答形式
互いに素な正整数$a,b$と平方因子を持たない正整数$c$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}$と表せるので、$abc$を解答してください。
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a
問題文
x, y は x^2 + y^2 = 1 を満たす実数である。このとき、、等式 x^2 + y^2 + (y/x)^2 - xy - (y^2)/x - y = 0を満たすx, yは存在するか。 存在する場合はx, yを求め、存在しない場合はそれを示せ。
解答形式
日本語で論述してください。
問題文
どの$2$辺の長さも等しくない鋭角三角形$ABC$の外心，垂心をそれぞれ$O,H$とし，辺$BC$の中点を$M$とします.
$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，直線$DE$と直線$AB$の交点を$P$，直線$DF$と直線$AC$の交点を$Q$とすると，$$
EF=4 AH=5 PQ||AM$$が成り立ちました.直線$PQ$と直線$OH$との交点を$R$とするとき，線分$OR$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので，$a+b$の値を解答してください.
解答形式
半角で解答してください.
問題文
$ $ 原点を $O$ とする $xy$ 平面において，（正とは限らない）整数 $n$ に対し座標 $(60, n)$ の点を $P_n$ と表します．$n$ を整数全体で動かしたとき，線分 $OP_n$ の長さとしてあり得る整数値の総和を求めて下さい．
解答形式
半角英数にし，答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．
問題文
点$O_1,O_2$を中心とする円$\omega_1,\omega_2$が異なる$2$点$A,B$で交わっている。これらの共通外接線のうち直線$O_1O_2$に関して$B$と同じ側に接点を持つ物を$l$とし、$\omega_1,\omega_2$との接点を$S_1,S_2$とする。
直線$AB$と$l$の交点を$X$とし、$X$から$\omega_1,\omega_2$に引いた($l$以外の)接線の接点を$T_1,T_2$とすると、$O_1,T_2,S_2$ / $O_2,T_1,S_1$はそれぞれ一直線上にあった。
$\omega_1$の半径が$\sqrt{3}$、$S_1X=\sqrt{2}$のとき、五角形$AO_1S_1S_2O_2$の面積を求めてください。
解答形式
求める値は正整数$a$及び、互いに素な正整数$b,c$、平方因子を持たない正整数$d$により$a+\dfrac{b\sqrt{d}}{c}$
と表せるので、$a+b+c+d$を半角英数字で入力してください。