どうやらUSOMO004においてChatGPTを利用し不正を働いた人物がちょうど1人いるらしい。容疑者は一郎、二郎、三郎、四郎、五郎、あなたの6人に絞られた。
一郎「三郎、五郎、あなたの内誰かが犯人だ。」
二郎「五郎は犯人じゃない。」
三郎「一郎は嘘をついていない。」
四郎「俺は犯人じゃない!」
五郎「俺も犯人じゃない!」
犯人の1人以外は全員本当の事を言っているはずである。
犯人は一体誰だろうか。
犯人を漢字二文字で解答してください。自分が犯人である場合は自分と解答してください。
この問題の提出制限は $1$ 回です。
正の有理数に対してスコアを次のように定義する。
有理数に対して正則連分数の数列を $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$とした時、$\sum^{n}_{i=0}a_i$
連分数を知らない人は下のWikipediaを見ても良いです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
例えば、$9$ のスコアは $9$ で、$\frac{7}{4}$ のスコアは $5$ で、$\frac{1}{7}$ のスコアは $7$ です。
スコアが $10$ であるような正の有理数の中で $100$ 番目に小さいものを解答してください。
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて、$\frac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。
この問題の提出制限は $5$ 回です。
左から右に一列に並んだ $n$ 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う $2$ つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その $2$ つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。
例: $n=3$ の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。
Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...
あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は $n=333$ です。あなたが先手か後手を選んでください。
あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は $-5000000000000000$ 点になります。
この問題の提出制限は $1$ 回です。
$$\sum^{100}_{k=1}\left\lfloor \sqrt[3]{1001001-k^3}\right \rfloor$$
を $2$ で割った余りはいくつですか?
非負整数で解答してください。
この問題の提出制限は $1$ 回です。
$40000000001$ は二つの異なる素数の積で表されます。その二つの素数のうち小さい方を解答してください。
非負整数で解答して下さい。
この問題の提出制限は10回です。
注:この問題は全完防止用問題です。この問題を解くには高度な知識が必要かもしれません。
Aの箱には白い玉が $1500$ 個 黒い玉が $500$ 個入っている。
Bの箱には白い玉が $1000$ 個 黒い玉が $1000$ 個入っている。
Cの箱には白い玉が $800$ 個 黒い玉が $1200$ 個入っている。
次のような操作を順に行う。
(1) Aの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(2) Bの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(3) Cの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(4) A,B,Cそれぞれの箱に残っている黒い玉の個数を $a,b,c$ とした時、$a>b$ または $b>c$ が成立した場合は操作をここで終了する。
(5) 箱に玉が一つも残っていない場合は操作をここで終了する。
(6) 操作が終了しなかった場合 (1) に戻る(取り出したボールは箱には戻さない)
操作が終了した時、箱に玉が一つも残っていない確率を求めてください。
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。
非常に細長いガムテープがあります。このガムテープは $M$ 個の区画に分かれています。ここで、$M$ は非常に大きい整数です。
はじめ、ガムテープには何も描かれていません。じーえむ君は $M$ 回以下の操作を行い、絵を描きます。
操作が終わった後黒く塗られている区画の数を $X$ とします。
$M$ が限りなく大きくなるときの $\frac{X}{M}$ の期待値の極限を求めてください。
答えとなる値を $p$ として $10^{10}p$ の整数部分を求めてください。
なお、以下の定数表を参考にしても構いません。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%9A%E6%95%B0
じーえむ君は $n×n$ の盤面のマス目に $2\times 2$ の正方形タイルを重ならないように出来るだけ多く入れたいです。
ただし、盤面はトーラスになっています。上から $x$ 行目 左から $y$ 列目のマスを $(x,y)$ と表すとき、左上のマスが $(x,y)$ であるようなタイルは $(x,y),(x+1( mod \ n),y),(x,y+1( mod \ n)),(x+1( mod \ n),y+1( mod \ n))$ の $4$ マスを占有します。
じーえむ君が入れることが出来るタイルの数の最大値を $N$ とする時、じーえむ君がタイルを $N$ 個入れる方法は何通りありますか?
ただし、回転や平行移動などで一致する入れ方は区別して数えてください。
上記の問題は $n$ が $4$ で割って $1$ 余る数である時上手く解くことが出来ます。
$n= 333,1001,7777$ のそれぞれについて上記の問題を解いてその答えの総和を解答してください。
非負整数で解答してください。
この四角に切れの解はいくつ存在しますか?
http://pzv.jp/p.html?shikaku/21/21/zzzi.z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z.9z..z..z..z..z..i
非負整数で入力してください
冨安四発太鼓保存会は冨安四発太鼓の競技化を進めており、全ての曲の長さは $1$ 単位時間と定められました。
冨安四発太鼓のスコアは次のように定められています。
曲が開始した時刻を $0$ とし、太鼓が叩かれた時刻を小さい順に $t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時に、スコアは $t_1^{39}t_2^{71}t_3^{94}t_4^{104}$ と定められます。
フニャオ君は曲の中で太鼓をランダムに $4$ 回叩きます。正確には区間 $[0,1]$ から実数を一様ランダムに選ぶという行為を独立に $4$ 回行い選ばれた実数を小さい順に並べ$t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時、時刻 $t_1,t_2,t_3,t_4$ に太鼓を叩きます。
この時、フニャオ君のスコアの期待値を求めてください。
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を求めてください。
正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている.
$$
(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する.
$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ.
答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください.
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$
マ謔イ魑エッ蟄、迢ャカ蜻ェ諤ィ蠢オ蜻ェ標蜻ェ謔イ魑エ上蜻ェ格諤ィ蠢オに蜻ェ店蟄、迢ャカ蜻ェェ蜻ェチ諤ィ蠢オン店蜻ェす。
諤ィ蠢オの蜻ェ謔イ魑エッ蟄、迢ャカ諤ィ蠢オに諤ィ蠢オ蜻ェ、最蜻ェ近諤ィ蠢オのマ諤ィ蠢オッ諤ィ蠢オカ謔イ魑エと蜻ェ蜻ェ蜻ェ諤ィ蠢オ蜻ェン蟄、迢ャは諤ィ蠢オ蜻ェど $1001$ に蟄、迢ャま蜻ェ。
$x,y$ 蜻ェ標諤ィ蠢オち諤ィ蠢オ $1$ 蜻ェ上 $n$ 以蜻ェで謔イ魑エよ諤ィ蠢オマ蜻ェ蜻ェッ諤ィ蠢オ蜻ェフ諤ィ蠢オ店蜻ェ数諤ィ蠢オ大値蜻ェ $f(n)$ 諤ィ蠢オる蟄、迢ャ全蜻ェ諤ィ蠢オ蜻ェ数 $n$ に蜻ェ謔イ魑エ $cf(n)\geq n^2$ が謔イ魑エ立謔イ魑エ蜻ェ謔イ魑エ負整蜻ェ $c$ 蜻ェ最小蜻ェを蟄、迢ャて諤ィ蠢オさ蜻ェ。
非謔イ魑エ数蜻ェ解諤ィ蠢オて蜻ェ謔イ魑エい。
$10^{12}$ 以下の正整数であって,$9$ の倍数または $10$ 進法表記した時どこかの桁に $9$ が現れる数はいくつありますか?
非負整数で入力してください。
全ての 答えが9になる足し算の式 を部分文字列として含む長さが31の文字列を解答するのがHard問題でしたが、さるのはこの問題の答えとしてありうる文字列が何通りあるのか気になりました。しかし、計算が面倒すぎて投げ出してしまいました。しかし、全ての 答えが 7 になる足し算の式 を部分文字列として含む長さが 22 の文字列なら何通りあるか計算できたようです。
全ての 答えが 7 になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが 22 の文字列がいくつ存在するか計算してください。
なお、答えが 7 になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが 21 以下の文字列は存在しないことが証明できます。
例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。
足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。
半角で非負整数を解答してください。
さるのも答えが9になる足し算の式を自分で一つ思いついたようです。さるのの考えた足し算の式を当ててください。
ただし、さるのの考えた足し算の式が解答した文字列の(連続していなくても良い)部分文字列にあれば正解とします。
例えば、「129+1341398+89006」と解答した場合、さるのの考えた足し算の式が「9」や「1+8」や「2+1+6」だった場合には正解ですが、「2+7」や「1+2+3+2+1」や「1+2+6」だった場合は不正解と判定されます。
例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。
足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。
半角で1行で解答してください。「」は付けないでください。
例えば「129+1341398+89006」と解答したい場合は次のように解答してください。
129+1341398+89006