J_Koizumi_144

問題文

ポロロッカ王国には$10$個のサッカーチームがあります．各チームにはレートと呼ばれる$0$以上$10$以下の整数が定まっており，レートの異なる$2$チームの試合では，必ずレートの大きい方が勝ちます．レートは秘密にされており，国民は知ることができません．
あるとき，これら$10$個のチームで総当たり戦（全$45$試合）が行われ，引き分けはありませんでした．ポロロッカ王国民であるAさんが，この総当たり戦の結果から各チームのレートを推測しようとしたところ，あり得るパターンは$N$種類存在しました．$N$として考えられる値の合計を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．

$100\times 100$のマス目に整数（負でもよい）を書き込んで、各行・各列の積が全て$10$になるようにしたものを良い盤面と呼びます。良い盤面に書かれた数の$2$乗和をその良い盤面のスコアとします。
すべての良い盤面にわたるスコアの総和を$M$とするとき、$M$が$2$で割り切れる最大の回数を求めてください。

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$p$を$0$以上$1$以下の実数とします．$A$と$B$の二人は，円形の的を用いて次のようなダーツ遊びをします．

• $A,B,A,B,\dots$の順に，的に向かって交互に矢を投げる．
• $A$は直前に$B$が投げた矢よりも中心に近い位置に矢が刺されば成功となる．ただし$1$回目は必ず成功とみなす．
• $B$は直前に$A$が投げた矢よりも中心から遠い位置に矢が刺されば成功となる．
• $n$回目に矢を投げたプレイヤーは，成功すると$p^n$点を得る．成功しなかった場合，その時点でゲームを終了する．

矢の刺さる位置が的の中で一様ランダムに決まると仮定するとき，ゲームが終了するまでに$A$が得られる得点の期待値を$f(p)$とし，$B$が得られる得点の期待値を$g(p)$とします．$f(p)=\dfrac{20}{21}$であるとき，$g(p)$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{b}{a}$と表せるので，$a+b$を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$2n\times 2n$のマス目に、以下の条件を満たすように正整数を書き込みます．

• 周上にないマスに$k$が書き込まれているとき、それと隣接するマスであって$k-1$以下の数が書き込まれているものが存在する．

このとき書き込まれた数の合計としてあり得る最小の値を$f(n)$とします．$f(111111)$を$5555$で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち，以下の条件を満たすものを考えます．

• どの行にも$1\times 1$のタイルがちょうど$1$つ含まれる．

このような並べ方のうち，横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか？
ただし，回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します．また，$1\times 2$のタイルが横向きであるとは，長辺が行に平行であることを指します．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

以下の値を求めてください。
$$
\sum_{1\leqq m<n\leqq 9} \biggl(\cos\dfrac{m\pi}{10}+\cos\dfrac{n\pi}{10}+1\biggr)^3
$$

解答形式

答えは正整数になるので、それを半角数字で解答してください。