nanohana

問題文

$$\sum_{k=m}^{n}k!=p$$を満たす自然数m,nと素数pの組(m,n,p)を全て求めよ。

解答形式

mが小さい順に、そして組ごとに改行して解答してください。

例えば(m,n,p)=(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)のときは、
1,2,3
2,3,4
3,4,5
のように入力してください

問題文

実数a,b,c,d,e,fが次の不等式を満たしている。
$$
a^2+b^2+c^2≦1
$$$$
b^2+c^2+d^2≦1
$$$$
c^2+d^2+e^2≦1
$$$$
d^2+e^2+f^2≦1
$$このとき$$a+b+c+d+e+f$$の最大値を求めよ。

解答形式

a+b+c+d+e+fが最大となる時の(a+b+c+d+e+f)^2の値を入力してください。

問題文

$$a,bは負でない整数とする。$$$$このときa!+b!=(a+b)!$$$$を満たす組(a,b)を全て求めよ。$$

解答形式

組(a,b)の個数を入力してください。

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =-1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

問題文

正四面体ABCDを考える。正四面体の全ての面に接する内接球の中心を点O、∠AOB=θと定める。

θと108°のうちどちらの方が大きいか。

解答形式

θの方が大きい場合はA、108°の方が大きい場合はB、θ=108°の場合はCと半角入力してください。

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{10^m}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

回答形式

半角数字で答えてください。
また、複数個の値を取りうる場合は値の小さい順に改行して入力してください。

問題文

$$
数列{a_{n}}は整数で、次の(Ⅰ) (Ⅱ)を満たす
$$$$
(Ⅰ)a_{1}= a_{2025}=0
$$$$
(Ⅱ)a_{n} a_{n+2} +2{a_{n+1}}^2≦ a_{n} a_{n+1}+ a_{n+1} a_{n+2}
$$$$
このとき、a_{2024}の値を求めよ。
$$

解答形式

$$a_{2024}の値を半角数字で入力してください。$$

問題文

f(x)は連続で微分可能である。
次の式を満たすf(x)を求めよ。$$f(x)=2f(-x)+ \int_{0}^{x^{2}}f'(\sqrt{t})dt$$

解答形式

f(2024)の値を半角数字で入力してください。

問題文

$$a,bは負でない整数とする。$$$$このときa!+b!=(a+b)!$$$$を満たす組(a,b)を全て求めよ。$$

解答形式

組(a,b)の個数を入力してください。

問題文

$$S_{n}=(n-2)a_{n+1}$$$$a_{1}=1$$$$\lim_{n\to \infty}S_{n}が有限の値に収束する。$$$$このとき、a_{3}の値を求めよ。$$$$ただし、S_n=a_1+a_2+･･･+a_nである。$$

解答形式

$$a_{3}の値を半角数字で入力してください。$$

問題文

容積が200ccのコップAとBとCがある。最初コップAとBとCには200ccの水が入っている。

6面サイコロを投げ、1が出ればAの水100ccをBに注ぎ、2が出ればBの水100ccをAに注ぎ、3が出ればBの水100ccをCに注ぎ、4が出ればCの水100ccをBに注ぎ、5が出ればCの水100ccをAに注ぎ、6が出ればAの水100ccをCに注ぐ。どの目が出るかは同様に確からしい。

ただし、コップには200ccを超える量の水は入らず、200ccを超えて注いだ水はすべてあふれ、捨てるものとする。

この操作を繰り返し続け，一方のコップが空になったときに操作を終える。10回目に操作を終える確率を求めよ。

解答方式

求める確率は互いに素な二つの正整数 a,bを用いてa/bと表すことができるため、a+bを解答してください．

問題文

15個の椅子が左右1列に並んでいて、最初は椅子に誰も座っていない。これから15人の人が1人ずつ訪れ、以下の行動を行う。

まだ人が座っておらず、人が座っている椅子と1つ以上離れている椅子から1つ無作為に選びそこに座る。座れる椅子がなければ、座らずに立ち去る。

15人全員の行動が終了した時の椅子の埋まり方の数を求めよ。ただし、誰が椅子に座っているかは区別しない。

解答形式

半角数字で入力してください。