nanohana

問題文

$$\sum_{k=m}^{n}k!=p$$を満たす自然数m,nと素数pの組(m,n,p)を全て求めよ。

解答形式

mが小さい順に、そして組ごとに改行して解答してください。

例えば(m,n,p)=(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)のときは、
1,2,3
2,3,4
3,4,5
のように入力してください

問題文

実数a,b,c,d,e,fが次の不等式を満たしている。
$$
a^2+b^2+c^2≦1
$$$$
b^2+c^2+d^2≦1
$$$$
c^2+d^2+e^2≦1
$$$$
d^2+e^2+f^2≦1$$
このとき$a+b+c+d+e+f$の最大値を求めよ。

解答形式

$a+b+c+d+e+f$が最大となる時の$(a+b+c+d+e+f)^2$の値を入力してください。

問題文

$a,b$は負でない整数とする。このとき$a!+b!=(a+b)!$を満たす組$(a,b)$を全て求めよ。

解答形式

組$(a,b)$の個数を入力してください。

問題文

正四面体ABCDを考える。正四面体の全ての面に接する内接球の中心を点O、∠AOB=θ(0°<θ<180°)と定める。

θと108°のうちどちらの方が大きいか。

解答形式

θの方が大きい場合はA、108°の方が大きい場合はB、θ=108°の場合はCと半角入力してください。

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =-1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

問題文

$\sqrt{n}$と $\sqrt{n+3}$が共に$有理数$となるような自然数$n$を全て求めよ。

解答形式

条件を満たす$n$の総和を入力してください。

問題文

1枚の硬貨を8回投げる。硬貨を1枚投げ, 表が出る確率, 裏が出る確率はともに$\frac{1}{2} $である。このとき、$k$回目(1$≦$$k$$≦$8)に表が出たら$X_{k}$=1, 裏が出たら$X_{k}$=0として, $X_{1}$, $X_{2}$,･･･, $X_{8}$を定める。
$$\sum_{k=1}^{6}X_{k} X_{k+1} X_{k+2}=0$$となる確率を求めよ。

解答形式

互いに素な自然数$a,b$を用いて, 求める確率は$\frac{a}{b} $と表されるので、$a+b$の値を入力してください。

問題文

$\sqrt{n}$と $\sqrt{n+3}$が共に$有理数$となるような自然数$n$を全て求めよ。

解答形式

条件を満たす$n$の総和を入力してください。

問題文

次の条件によって定められる数列$a_{n}$の一般項を求めよ。$$a_{1}= \frac{2}{3},a_{n+1} =3(a_{n})^2+2a_{n}$$

解答形式

$$a_{n}= 🄰 ^{b_{n}}-\frac{🄱}{🄲} ,b_{n}= 🄳 ^{n-1}-🄴 $$と表されるので$🄰 + 🄱 + 🄲 + 🄳+ 🄴$ の値を入力してください。

問題文

数列${a_{n}}$は整数で、次の(Ⅰ) (Ⅱ)を満たす
$$
(Ⅰ)a_{1}= a_{2025}=0
$$$$
(Ⅱ)a_{n} a_{n+2} +2{a_{n+1}}^2≦ a_{n} a_{n+1}+ a_{n+1} a_{n+2}
$$
このとき、$a_{2024}$の値を求めよ。

解答形式

$a_{2024}$の値を半角数字で入力してください。

問題文

f(x)は連続で微分可能である。
次の式を満たすf(x)を求めよ。$$f(x)=2f(-x)+ \int_{0}^{x^{2}}f'(\sqrt{t})dt$$

解答形式

f(2024)の値を半角数字で入力してください。

問題文

$a,b$は負でない整数とする。このとき$a!+b!=(a+b)!$を満たす組$(a,b)$を全て求めよ。

解答形式

組$(a,b)$の個数を入力してください。