問題文
三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $BH$ と直線 $AC$ との交点を $E$ ，直線 $CH$ と直線 $AB$ との交点を $F$ とすると，$3$ 点 $E,O,F$ は同一直線上にあった．$AH=8,AO=6$ のとき，四角形 $EFBC$ の面積の二乗の値を求めよ．
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問題文
三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ の中点を $M$ とし，$\angle ABC$ の二等分線と直線 $AM$ との交点を $D$ とすると，以下が成立した．
$$BC=4,\angle ADB=\angle AMC=3\angle BAM$$このとき，線分 $AC$ の長さの二乗は正整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
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半角数字で入力してください。
問題文
任意の正整数 $m$ に対して $n^m-n$ が $10!$ の倍数であるような $10!$ 以下の正整数 $n$ の個数を求めよ．
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問題文
$n^2+78n-79$ を $100$ で割った余りが平方数とならないような最小の正整数 $n$ を求めよ．
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問題文
$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
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半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ の鋭角三角形 $ABC$ について，$\angle{BAC}$ の二等分線と線分 $BC$ との交点を $D$ とし，点 $D$ から線分 $AB,AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $F,E$ としたとき，以下が成立しました．$$AE=4,CE=2,CD=2\sqrt{2}$$三角形 $ABC,AEF$ の外接円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2$ ，その中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$\omega_1$ と $\omega_2$ との交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $PO_2$ と直線 $DO_1$ との交点を $Q$ としたとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$r=6,R=13,BC=24$$直線 $AI$ と直線 $HO$ との交点を $D$ としたとき，線分 $OD$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
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例）半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$\angle{BAC}=60^\circ,r=4,R=10$$このとき，三角形 $HIO$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．
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半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$\angle{AIO}=90^\circ,r=7,R=15$$このとき，四角形 $OIBC$ の面積は最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数 $b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$a+b+c+d+e$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
中心を $O_1,O_2$ とする $2$ 円 $\omega_1,\omega_2$ が $2$ 点 $A,B$ で交わっています．半直線 $O_1A$ と $\omega_2$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $C$ とし，半直線 $O_2A$ と $\omega_1$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $D$ とすると，以下が成立しました．$$O_1A=3,O_2A=AB=2$$このとき，$CD$ の長さは最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数
$b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$abcde$ を解答してください．
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例）半角数字で入力してください。
問題文
四角形 $ABCD$ があり，半直線 $BA,CD$ が点 $E$ ，半直線 $AD,BC$ が点 $F$ ，半直線 $CA,FE$ が点 $G$ でそれぞれ交わっています．線分 $BE$ を $BE:AB$ に外分する点を $H$ としたとき、以下が成立しました．$$GB\parallel EC,BE\cdot BF=90,AB\cdot BC\cdot CF\cdot AE=320$$このとき，四角形 $BGHF$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の $\displaystyle\frac{a}{b}$ 倍（ $a,b$ は互いに素な正整数）となるので，$a+b$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。