問題文
2次元座標平面上の有限な閉じた凸領域 $\mathcal{D}$ に対し, $\mathcal{D}$ の境界 $\beta=\partial\mathcal{D}$ が次を満たすとします.
(1) $\beta$ は滑らかな単純閉曲線です.
(2) $\beta$ 上の任意の点 $O$ に対して $O$ を中心とする半径が $1$ である円は $\beta$ との交点を正確に $2$ つ持ちます.
(3) $\beta$ 上の任意の点 $O$ に対し, $O$ で $\beta$ と接する直線は $\beta$ と $O$ 以外の交点を持ちません.
両端が $P, Q$ で, 中点が $M$ の長さ $1$ の棒を考えましょう. この棒の両端点が常に $\beta$ の上に置かれるように棒を曲線に沿って一周すると, つまり $\beta$ に沿って二点 $P, Q$ を連続的に一周すると $M$ の跡は単純閉曲線 $\gamma$ になります。
この時, 二つの曲線 $\beta,\gamma$ の間にある領域の広さが $\frac{\pi}{4}$ であることを証明しなさい.
解答形式
証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
次の二つの条件を満たす $n$ 個の実数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ に対して $\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_ia_{i+1}\right)+a_na_1$ の最大値を求めなさい. ただし, $n\ge 3$ である.
$$\begin{matrix}a_1+a_2+\cdots+a_n=0, & a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=1\end{matrix}$$
解答形式
最初の行に $\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_ia_{i+1}\right)+a_na_1$ の最大値を入力してください.
2列目は空白にしておいてください.
3行目から証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
実数全体で定義された実関数 $f$ は二度微分可能であり, $f^{\prime\prime}$ が連続である. そしてすべての実数 $x$ に対して $f^{\prime}(x) > 0, f^{\prime\prime}(x) < 0$ である.
このとき, 任意の正の実数 $t$ に対して次の式が成立することを証明しなさい.
$$\left|\int_0^t\cos{f(x)}dx\right| \le \frac{2}{f^\prime (t)}$$
解答形式
証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
$37^{2024}$ の十の位と一の位の数をもとめてください.
解答形式
$37^{2024}$ の十の位と一の位の数を空白で区切って1行に入力してください.
例えば $37^{2024}$ の十の位が $0$ で一の位が $2$ の場合は 0 2 のように入力してください。
問題文
次の式を満足す実数 $N$ を求めなさい.
$$\sum_{k=1}^{2024}(2025-k) \cdot 2024^k \cdot 2025^{2024-k} = 2024^N$$
解答形式
$N$ をそのまま入力してください.
問題文
3次元座標空間で式 $4z^2=x^2+y^2-1$ を満たす点 $(x,y,z)$ の集合からなる曲面を $S$ とします. 点 $P(1,2,1)$ を通る直線のうち, 正確に二つが $S$ に完全に含まれることを示してください.
またこの二つの直線が成す鋭角を $\theta$ とする時, $\cos\theta$ を求めなさい.
解答形式
最初の行に $\cos\theta$ を入力してください.
2列目は空白にしておいてください.
3行目から証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
次の行列 $A$ に対して等式 $A^5 = aA^2+bA+cI$ が成立するる実数 $a, b, c$ を求めなさい. ただし, $I$ は $3\times3$ 単位行列である.
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
解答形式
$a, b, c$ を空白で区切って1行に入力してください. 例えば $(a,b,c)=(7,15,92)$ であれば解答として 7 15 92 を入力してください.
問題文
すべての正整数 $n$ に対して $a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式が成立する。
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}=1998, \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{3n}}{3^n}=1106$$
この時、$|a_{1998}a_{1106}|$を求めよ。
解答形式
答えをそのまま入力しなさい。