katsuo_temple

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整数と幾何が好きです
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人気問題

平方数

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
6月前

20

問題文

$n^2-n+1$が平方数となるような非負整数$n$を全て求めよ。

解答形式

$n$を小さい順に改行して半角で解答して下さい。
例)$n=3,7,9$の場合
3
7
9
と解答して下さい。

整数問題α

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
4月前

14

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

幾何α

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
4月前

13

問題文

$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122} AH||DX DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

過去垢の問題(整数➀)

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
4月前

7

問題文

以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$

解答形式

半角数字で解答してください。

過去垢の問題(整数②)

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
4月前

5

問題文

$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

幾何

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
30日前

5

問題文

重心を$G$とする三角形$ABC$において,その外接円を$Γ$とし,$A$を通って$BC$に垂直な直線と$Γ$が再び交わる点を$D$とする.また$B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$E,F$とし,三角形$DEF$の外接円と$Γ$の交点のうち,$D$でないほうを$P$とする.$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$としたとき,$3$直線$MN,EF,AG$は$1$点で交わり,$$AB=3 AP=4$$が成立した.このとき$BC^2$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので,$a+b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

新着問題

即興幾何

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
3日前

4

問題文

三角形$ABC$において,$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし,$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし,$DP$と$MN$の交点を$Q$,三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき,$$AN=10 AB=9 NR=3$$が成立した.このとき,$AC²$の値を解答してください.

解答形式

半角で解答してください.

幾何

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
30日前

5

問題文

重心を$G$とする三角形$ABC$において,その外接円を$Γ$とし,$A$を通って$BC$に垂直な直線と$Γ$が再び交わる点を$D$とする.また$B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$E,F$とし,三角形$DEF$の外接円と$Γ$の交点のうち,$D$でないほうを$P$とする.$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$としたとき,$3$直線$MN,EF,AG$は$1$点で交わり,$$AB=3 AP=4$$が成立した.このとき$BC^2$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので,$a+b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

57日前

0

問題文

どの$2$辺の長さも等しくない鋭角三角形$ABC$の外心,垂心をそれぞれ$O,H$とし,辺$BC$の中点を$M$とします.
$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし,直線$DE$と直線$AB$の交点を$P$,直線$DF$と直線$AC$の交点を$Q$とすると,$$
EF=4 AH=5 PQ||AM$$が成り立ちました.直線$PQ$と直線$OH$との交点を$R$とするとき,線分$OR$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので,$a+b$の値を解答してください.

解答形式

半角で解答してください.

幾何α

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
4月前

13

問題文

$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122} AH||DX DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

整数問題α

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
4月前

14

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

過去垢の問題(整数➀)

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
4月前

7

問題文

以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$

解答形式

半角数字で解答してください。

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