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問題文

正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

問題文

$AB=DC=2,AD=3,AC=\sqrt{17}$を満たす等脚台形$ABCD$の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子を持たない正整数$c$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}$と表せるので、$abc$を解答してください。

問題文

正八面体の各頂点に集まる、各辺を三等分する点のうち、頂点に近い方をすべて通る平面で立体を切り、頂点を含む角錐を取り除いてできる立体(切頂八面体)の形をしたサイコロがある。切り落としたことにより初めて現れた面には1〜6の整数が書かれており、もとの八面体の面には7〜14の整数が書かれている。ただし、1つの面につき1つの数字が書かれているものとする。このサイコロでは、ある数の出る確率はその数が書かれた面の面積に比例することが分かっている。

⑴このサイコロを1回振るとき、1が出る確率を求めよ。また、7が出る確率を求めよ。

⑵このサイコロを2回振るとき、出た数の積が6の倍数となる確率を求めよ。

⑶このサイコロを3回振るとき、出た数の積が3の倍数となる確率を求めよ。

⑷このサイコロを2回振るとき、出た数の積の正の約数が4個となる確率を求めよ。

解答形式

⑷の答えは互いに素な正整数$a,b,c$と平方因子をもたない正整数$d$を用いて$\frac{b+c\sqrt{d}}{a}$と表せます。$a+b+c+d$を解答してください。⑴⑵⑶に解答する必要はありません。

以下では簡単のため、惑星の公転軌道楕円は円と近似でき、すべての惑星と月は同一平面上を公転しているものとする。このとき、以下の3つの法則が成り立つ。

[第一法則]　惑星は太陽を中心として公転している。
[第二法則]　惑星は常に一定の速度で公転する。
[第三法則]　惑星の公転周期を$T$、軌道円の半径を$r$とすると、すべての惑星において$\frac{T^2}{r^3}=k$(一定)となる。

次に示すのは、左から順に惑星の$T$及び$r$、平均密度$d$、体積$V$、また衛星の個数の値である。ただし、$T,r,d,V$の値はすべて地球を$1$としたときのものである。必要ならばこれを用いて、あとの問いに答えよ。

水星　　$r=0.39　T=0.24　d=0.99　V=0.05　0$
金星　　$r=0.72　T=0.62　d=0.95　V=0.86　0$
火星　　$r=1.52　T=1.88　d=0.71　V=0.15　2$
木星　　$r=5.20　T=11.9　d=0.24　V=1405　79$
土星　　$r=9.55　T=29.5　d=0.13　V=831　65$
天王星　$r=19.2　T=84.0　d=0.23　V=64.0　27$
海王星　$r=30.1　T=165　d=0.30　V=59.3　14$

⑴表から、地球型惑星の中では火星が、木星型惑星の中では木星が最も多くの衛星をもつことが読み取れる。この2つの事柄に共通して当てはまる理由を説明せよ。

⑵表から、木星と土星が特に多くの衛星を持つことが読み取れる。この2つの事柄に共通して当てはまる理由を説明せよ。

⑶すべての天体は地球を中心に回っているとする天動説が誤りであるといえる根拠を簡潔に述べよ。

地球の公転周期を$1$年とし、以下のような仮想の惑星$P$の特徴を考察していこう。

・密度、体積ともに他のいかなる木星型惑星よりも大きい。
・$\frac{T}{r}=1.5$である。

ただし、惑星$P$も上の3つの法則を完全に満たすものとする。計算値は、必要ならば小数第三位を四捨五入し少数第二位までの近似値で答えよ。また、太陽系とその周辺の環境は一切変化しないものとする。

⑷公転周期の単位は「年」で、軌道円の半径は地球を$1$としたときの値で考えるとき、$k$の値を求めよ。

⑸惑星$P$の公転速度は、木星の公転速度の何倍か。

⑹惑星$P$の公転周期は何年か。

⑺惑星$P$は、どの惑星とどの惑星の間を公転するか。

⑻以下のア〜エのうち、惑星$P$について述べた文として正しいものには◯を、正しくないものには✕を答えよ。

ア　惑星$P$の衛星の個数は、いずれ80個以上になると考えられる。
イ　惑星$P$には隕石が衝突しやすいので、クレーターができると考えられる。
ウ　現代の観測技術では、惑星$P$を地球から観測することができない。
エ　惑星$P$の半径の長さは、天王星の半径の長さの$3$倍以上である。

⑼太陽、地球、惑星$P$が(この順に限らず)一直線上に並ぶ周期は何年か。

焦点距離が$f$である4つの凸レンズ$α,β,γ,δ$があり、それらの光軸がすべて一致するように置かれている。隣り合う凸レンズ間の距離はすべて$f$である。
いま、長さ$a$の矢印型の物体を光軸上に、光軸と直交するように置く。このとき、物体と凸レンズ$α$のレンズ面の間の距離は$d$である。物体の先端(矢の部分)を点$A$、点$A$から光軸に下ろした垂線の足を$B$、凸レンズ$α,β,γ,δ$の中心を$C,D,E,F$、また凸レンズ$α,δ$の焦点のうち、他の凸レンズの中心でないものをそれぞれ$F_1,F_2$とする。点$A$から発せられた光のうち、光軸に平行なもの及びそれが屈折したものと凸レンズ$α,γ,δ$との交点を$G,H,I$、点$C$を通るもの及びそれが屈折したものと凸レンズ$β,γ$との交点を$J,K$、点$F_1$を通るものと凸レンズ$α,β,δ$との交点を$L,M,N$とする。更に、直線$KF,IF_2$の交点を$O$とし、点$O$から光軸に下ろした垂線の足を$P$とするとき、$OP=b$である。

以下では、レンズ面を十分広いものとして扱い、物体から発せられた光は必ず凸レンズを通過するものと考える。また、$xy$平面とは$F_2$を原点、光軸を$x$軸、直線$RF_2$を$y$軸とする平面であるものとする。

⑴$EK$を、$a,d,f$を用いて表せ。

⑵$FP$を、$a,b,d$を用いて表せ。

⑶$OP$を、$a,d,f$を用いて表せ。

⑷$NF$を、$a,d,f$を用いて表せ。

以上のことより、この実験では物体と①(同じ向き・反対向き)の②(実像・虚像)ができると分かる。⋯(※)

次に、点$F_2$を中心とし、その光軸が他の凸レンズの光軸と一致する凸レンズ$ε$を置いた。この凸レンズのレンズ面と直線$KF$の交点を$Q$、点$N$を通り光軸な平行の光との交点を$R$とする。また、この凸レンズの焦点のうち$F_1$でないほうを$F_3$とする。更に、直線$IF_2$と$RF_3$との交点を$S$、点$Q$を通り光軸に平行な光との交点を$T$とする。凸レンズ$ε$を置いた以外は、一切操作を加えていないものとする。

⑸(※)の文章が正しいものとなるように、括弧の中に当てはまる内容を1つずつ選べ。

⑹$xy$平面上における直線$F_2S$の式を求めよ。ただし、左辺に$y$、右辺に$x$を用いた式が置かれる形で答えること。

⑺$xy$平面上における直線$RS$の式を求めよ。ただし、左辺に$y$、右辺に$x$を用いた式が置かれる形で答えること。

⑻$xy$平面上における$T$の座標を、$a,d,f$を用いて表せ。

⑼$xy$平面上における$S$の座標を、$a,d,f$を用いて表せ。

このことから、前の実験と同様に像ができると分かる。

⑽点$T$と光軸の間の距離を$b'$とする。$\frac{1}{b'}$を、$a,b$を用いて表せ。

緩歩動物など一部の動物は、周囲が乾燥してくると体を縮め、代謝をほぼ止めて「乾眠」の状態に入る。乾眠個体は、過酷な条件にさらされた後も、水を与えれば再び動き回ることができる。
乾眠状態には瞬間的になれるわけではなく、ゆっくりと乾燥させなければあっけなく死んでしまう。乾燥状態になると、体内のグルコースをトレハロース($C_{12}H_{22}O_{11}$)に作り変えて極限状態に備える。いずれ酸素の代謝も止まり、完全な休眠状態になる。ただし、クマムシではトレハロースの顕著な蓄積が確認されておらず、どのように乾眠状態に入るのかは未だ不明である。

これらの乾眠個体は非常に大きな耐性強度を持つことで知られており、下のように過酷な環境にも耐えることができる。

・通常は体重の$85.0$％をしめる水分を$3$％以下まで減らし、極度の乾燥状態にも耐える。
・$100℃$の高温から、ほぼ絶対零度（$−273℃$）の極低温にも耐える。
・ほぼ真空から$75000$atmの高圧にも耐える。
・高線量の紫外線、X線、ガンマ線等の放射線に耐える。X線の半数致死量は$3200$Sv。

ただし、放射線を$1$Sv受けたとき、$1$Kgあたり$0.8$Jのエネルギーを受け取ったことになる。また、ここでの半数致死量とは、実験動物に放射線を浴びせたとき、その半数が死亡する放射線の強さを表す。あとの設問を解くにあたって必要ならば、個体差を考慮することなく、問題文中に提示された数値をそのまま用いてよい。

⑴グルコースがトレハロースに置き換わる化学変化に関連して、

①反応物と最終的な生成物に着目した化学反応式で表せ。

②一般的にトレハロースを含む食品をア〜オからすべて選べ。

ア　ビール　　イ　牛乳　　ウ　食パン　　エ　スターフルーツ　　オ　しいたけ

⑵質量$w_1$の乾眠個体の水分量は、体重の$1.0$％であった。ただし、この乾眠個体はクマムシではないことが分かっている。炭素原子、水素原子、酸素原子の質量比$C:H:O=12:1:16$とする。

①この乾眠個体に蓄積されているトレハロースの質量を、$w_1$を用いて表せ。

②この個体が乾眠する前に蓄積されていたグルコースの質量として考えられる最も大きな値を、$w_1$を用いて表せ。

⑶乾眠した$1000$匹のクマムシが宇宙空間に放出され、太陽から$3200$SvのX線を受けた。このあと充分な量の水をかけると再び動き回る個体は約何匹だと考えられるか。最も適切なものをア〜オから1つ選べ。また、そのようになる理由を説明せよ。

ア　$0$匹　　イ　$250$匹　　ウ　$500$匹　　エ　$750$匹　　オ　$1000$匹

⑷乾眠した$1000$匹のクマムシを、$100℃$に沸騰させたお湯の中に入れた。このあと充分な量の水をかけると再び動き回る個体は約何匹だと考えられるか。最も適切なものをア〜オから1つ選べ。また、そのようになる理由を説明せよ。

ア　$0$匹　　イ　$250$匹　　ウ　$500$匹　　エ　$750$匹　　オ　$1000$匹

塩酸と硝酸を体積比$3:1$、もしくは塩酸がさらに多くなるような比率で混合した物質を王水という。王水は非常に強い酸化力を持っており、金や白金でさえも溶解することができる。王水がどのような仕組みで貴金属を溶解するのか、以下では金を例に挙げて考えていこう。

塩酸と硝酸を混合したとき、次の化学反応が起きる。
$$[　　A　　]$$
この反応により$(　Ⅰ　)$、水、塩素が発生する。$(　Ⅰ　)$は非常に強い酸化剤として機能し、イオン化傾向の小さい貴金属も溶解することができる。この物質により、王水に金を入れると、次の化学反応が起きる。
$$[　　B　　]$$
この反応により、$(　Ⅱ　)$、テトラクロリド金(Ⅲ)酸が発生する。ただし、テトラクロリド金(Ⅲ)酸は、水溶液中で$H^＋$と$[AuCl_4]^−$に電離している。このようにして、王水は金を溶解するのである。

王水の性質を調べるため、以下の【実験1】〜【実験4】を行った。

【実験1】
塩酸と硝酸を混合して放置すると、数秒で無色から橙色に変化した。橙色は徐々に濃くなっていったが、しばらくすると色の変化は見られなくなった。この王水に金を入れたが、ほとんど溶解しなかった。

【実験2】
王水に黄鉄鉱$(FeS_2)$を入れると、黄鉄鉱は溶解し、硫酸と一酸化窒素が発生した。

【実験3】
王水にスズを入れると、スズは溶解し、一酸化窒素と二酸化窒素が発生した。

【実験4】
王水に銀を入れると、銀がわずかに溶解した後、ほとんど反応が進行しなかった。

⑴文章中の$[　　A　　],[　　B　　]$に当てはまる化学反応式を答えよ。

⑵文章中の$(　Ⅰ　),(　Ⅱ　)$に当てはまる物質名を答えよ。

⑶【実験1】において、金がほとんど溶解しなかった理由を、塩酸と硝酸の反応による生成物の性質に着目して説明せよ。

⑷【実験2】、【実験3】の化学変化を化学反応式で表せ。

⑸【実験4】において、

①銀が溶解する化学変化を化学反応式で表せ。

②ほとんど反応が進行しなかった理由を、反応による生成物に着目して説明せよ。

問題文

関数列$｛f_n(x)｝$を、次の漸化式で定める。
$$f_1(x)=x,f_{n+1}(x)=x^{f_n(x)}$$
このとき、数列$｛lim_{x→0}f_n(x)｝$の収束・発散・振動を調べ、収束すればその値を、振動すれば現れる2数を求めなさい。

解答形式

発散する場合→正の無限大に発散、負の無限大に発散のいずれかを答える。

収束する場合→収束先を半角数字で答える。

振動する場合→数列に現れる2数を、全角スペースで区切り小さい順に答える。
(例)数列が4,6,4,6···と振動する場合、かぎかっこ内のように答える。
「4　6」