数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす． $a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき，$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ．
半角数字で入力してください。
（10進法で）正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。 例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。 次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。 ・各桁の数の総和が10である。 ・どの桁にも0は使われていない。
半角整数で入力してください。
1辺が10の正三角形ABCがある. 線分AB上に $AD=3$を満たす点D, 線分BC上に $BE=3$を満たす点Eがある. 線分DEの垂直二等分線と直線ACの交点を $F$とし, 三角形ABCの外接円と交わる点のうち, 直線ABに関して $C$ と反対側にある点を $K$ とする. 直線EFと直線CKの交点を $L$とするとき, $EL$の長さを求めよ. なお, 答えは $\sqrt{a}-b$で表されるため, $a+b$を求めよ.
3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする. 全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。
以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ． ・すべての正整数 $n$ に対し，$a_n$ は $0$ 以上の整数である． ・すべての正整数 $n$ に対し，$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす． ・すべての正整数 $n$ に対し，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす．
格子点上を，点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ，点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む． このとき，2 本の経路が交差しない（頂点共有もしない）組の総数を求めよ．
例）半角数字で入力してください。
区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）． $i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする． 入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．
