$3×5$のマス目がたくさんあり、これを「カード」と呼びます。 いま、1以上2025以下の整数の中から異なる2つの自然数を選び、$(i,j)$(ただし$i<j$)とします。 この時、「カード」を何枚か使うことで$i×j$のマス目を以下の「条件」を全て満たすように埋めることができるような$(i,j)$の組は何通りですか。
「条件」 ・マス目の中で、「カード」同士が重なっている部分が存在しないこと。 ・マス目から「カード」がはみ出した部分が存在しないこと。 ・マス目の中で、「カード」が置かれていない場所が存在しないこと。
半角数字で解答してください。
$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。 この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。
半角数字で入力してください。
三角形$ABC$の内心を$I$ , 外心を$O$とします。 $AI=5$ , $AO=6$ , $AB+AC:BC=5:2$が成り立っている時、$cos\angle OAI$の値を求めてください。
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので、$a+b$の値を解答してください。
