$(S,\mathfrak{O})$を位相空間とする。 ※ただし$\mathfrak{O}$は開集合系とする。 このとき$A\subset{S},\partial{A}$を$A$の境界とすると次が成り立つことを示せ。 $$\partial{A}=\emptyset⇔Aは開集合かつ閉集合$$
$S$を集合として$M$をその任意の部分集合とする。 (i). $\mathfrak{O}_M:=\{X|M\subset {X},X\subset {S}\}\cup{}\{\emptyset\}$は$S$の位相となることを示せ。 (ii).{$\mathfrak{O}_M\}_{M\in\mathcal{P}(S)}$以上の濃度をもつ$S$の位相の集合は存在するか。するなら具体的に一つ述べよ。 ただし$S$の濃度$|S|≧2$とする。
