peyumgu

問題文

一辺が$1$の正方形$ABCD$の頂点$A$から、動点$P$を$0 \leqq \angle\mathrm{DAE} \leqq π/2$となる辺$BC,CD$上の点$E$へ向かって直進させることを考える。いずれかの辺に触れたときは入射角と反射角が等しくなるように反射させ、頂点に触れたときは入射角を$π/2$として考える。
このとき点$P$が$2$進んだ後の点の軌跡で囲まれた領域の面積$S$を求めよ。

解答形式

$S$は$a/b$の形で表されるため、$b$を有理化した既約分数で回答すること。
$a=2√2-1,b=√2$の場合は、「$4-√2/2$」と回答する。

問題文

$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。
$m$の値を求めよ。

解答形式

$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。
$m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。

問題文

一辺の長さが$1$の正三角形$ABC$を考える。
また、頂点$A$から動点$P$を、$BC$を $1:p $ $(p \in \mathbb{R} , p<1)$ に内分する点$D$へ向かって動かし、いずれかの辺に触れたときは入射角と反射角が等しくなるように反射する。

これをいずれかの頂点に着くまで繰り返した時の、
動点$P$が反射した回数を $C(p)$、動点$P$の動いた総距離を $D(p)$と表す。このとき、

$D(p)-C(p)=202$となる $p$ をすべて求めよ。

解答形式

$p$を「$a/b$」の形で小さい方から表記し、一つずつカンマで区切ること。答えが「1/2 と 2/3」のときは、「1/2,2/3」と回答すること。