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1.

半径 $r$ の円 $ \mathrm{O}\ $があり、この円の周上に定点 $ \mathrm{A}\ $ がある。点 $ \mathrm{A}\ $ における円 $ \mathrm{O}\ $の接線を $l$ とする。円 $ \mathrm{O}\ $ 上を動く点 $ \mathrm{P}\ $ に対し、点 $ \mathrm{P}\ $ から直線 $l$ に下ろした垂線の交点を $ \mathrm{H}\ $ とする。

(1) $\mathrm{AP}^{2}\ $を $r$ と $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。

(2) $k$ を定数とする。 このとき ${\mathrm{AP}^{2}=k\cdot \mathrm{AH}}$ が成り立つことを示せ。

(3)${\triangle \mathrm{APH}}$の面積を $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。また、点 $ \mathrm{P}\ $が円 $ \mathrm{O}\ $上を動くとき、${\triangle \mathrm{APH}}$ の面積が最大となる点 $ \mathrm{P}\ $の位置を求めよ。

2.

座標平面上に2点$ \mathrm{A}(1,0)$, $\mathrm{B}(0,1)$ がある。$(0\le \theta \le \frac{\pi }{2}) $の範囲を動く点 $\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ) $を考える。

(1) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積を $\theta $ を用いて表せ。

(2) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積の最大値を求めよ。

(3) $\triangle \mathrm{ABP}$ が直角三角形となるような $\theta $ の値をすべて求めよ。

(4) $\triangle \mathrm{ABP}$ の重心 $ \mathrm{G}$ の軌跡を求めよ。

3.

二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ を考える。ただし、(a,b,c) はすべて奇数である整数とする。このとき、この二次方程式の解が無理数であることを証明せよ。

4.

数列 ${{a_{n}}}$は、${a_{1}=1}$ であり、すべての自然数 $n\ $に対して $${a_{n+1}=\frac{2a_{n}+3}{a_{n}+2}}$$を満たすものとする。

(1) ${{a_{n}}}$ の一般項を求めよ。

(2)すべての自然数 $n\ $に対して、${a_{n}<\sqrt{3}}$ であることを示せ。

(3) ${|a_{n}-\sqrt{3}|<\frac{1}{2^{n-1}}(\sqrt{3}-1)}$ が成り立つことを示せ。

5.

$a,b$を正の実数とする。楕円 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ $上の点 $\mathrm{P}(x_{0},y_{0})(x_{0}>0,y_{0}>0) $における接線を $l$とする。接線 $l$と $x$ 軸、および$x$軸で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。

(1) 点 $\mathrm{P}$が楕円上を動くとき、面積 $S$ の最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。 

(2) 楕円の焦点の1つを $\mathrm{F}\ $とし、$\mathrm{F}\ $と接線 $l$との距離を $d$ とする。この時、$d$の最大値と最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。 

(3) 焦点 $F$ から接線 $l$ までの距離を$d_{1}$、もう1つの焦点 $F^{\prime }\ $から接線 $l$ までの距離を$d_{2}$とする。このとき、 $d_{1}d_{2}$ は常に一定であることを示せ。また、その値を$(a,b)$ を用いて表せ。