Auro

問題文

$n, k$ を正の整数とし，

$$
A_n = n! + k^2 + 2k + 2
$$

とする。$1 \le k \le 100$ の範囲で，次の (＊) を満たす $k$ を全て求めよ。

(＊)　$A_n$ が平方数となる $n$ が少なくとも$1$つ存在する。

解答形式

$k$の値を半角数字で、小さい順に$1$行目から各行左詰めで入力してください。
例)
1
3
5

問題文

面積 $1$ の正六角形 $H$ がある。次の操作 (＊) を $1$ 回行うとき，得られる $D$ の面積の期待値を求めよ。

(＊)　$H$ の $6$ つの辺から無作為に $3$ つの異なる辺を選び，それぞれの辺上に点をとる。この $3$ 点がそれぞれの辺上（頂点を含まない）を動くとき，この $3$ 点を頂点とする三角形の重心の動きうる範囲を $D$ とする。

解答形式

・数字や記号「+」｢-」は半角で入力。
・小数表記は不可。分数を含む場合、分子/分母　のように入力。例)1/3
・根号を含む場合、√3のように入力。

問題文

$p$ を $3$ 以上の素数とする。
$f(x),\ g(x)$ はいずれも整数係数の多項式である。
$f(x),\ g(x)$ が次の条件を全て満たすとき，
存在しうる $f(x),\ g(x)$ の組み合わせは何通りあるか。

$(a)$　$f(g(x)) = x^{p^p} + 1$

$(b)$　$f(0)$ が $p$ で割り切れる。

$(c)$　$1 \le g(0) \le p^{p}$

解答形式

pを用いて解答。答えのみの解答で構いません。

問題

問題$O$ を原点とする座標空間において，不等式
$$
x^2 + y^2 > 1,\quad z \ge 0
$$
の表す領域を $E$ とする．

また，$1$ 辺の長さが $3$ である立方体（内部を含む）を $S$ とする．

立方体 $S$ が次の（＊）を満たしながら自由に動くとき，立方体 $S$ の通りうる範囲のうち
$z \ge 0$ の部分 $V$ の体積を求めよ．

（＊）立方体 $S$ と領域 $E$ が共有点を持たない．

解答形式

1つの項にして解答
・分数を含む場合
分子/分母　のように解答
※分母に根号を含まない形にすること。
・根号を含む場合
記号「√」を用い、「+」,「-」を含むとき根号の中身全体を()でくくる
　例　√(2+3√2)
・分子、分母が多項式で表される場合
該当する多項式全体を()でくくる
　例　(2+3√2)/2
・πを含む場合　
　例　√2π 「()」は不要
　特に分子にπがあるとき「記号/」の直前にπを記入
　例　3√2π/5、(2+3√2)π/2

問題文

左右 $3$ 列，上下 $3$ 行からなる $9$ 個のマス目があり，左から $1$ 列目かつ上から $2$ 行目にあるマス目を $S$ とする。
また，$1$ 辺の長さがマス目の $1$ 辺の長さと等しく，向かい合う $2$ つの面が黒色に塗られた立方体を $C$ とする。

最初，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なるように $C$ を置く。そして操作 (＊) を次のように定める。

(＊)　$C$ が置かれているマスに隣り合うマス（斜めに隣り合うマスは除く）のうちどれか $1$ つを無作為に選び，
そのマスに $C$ の側面が完全に重なるように，$C$ の $1$ 辺を軸にして $C$ をたおす。

$n$ を正の整数とする。操作 (＊) を $n$ 回行ったとき，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なっている確率を $p_n$ とする。
$$
\lim_{n\to\infty} p_{2n}
$$を求めよ。

解答形式

半角数字・記号で解答。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して

$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$

とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

$(2)$　点 $w$ が虚軸上を動くとき，点 $f(w)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

範囲を文章や不等式で表せば可とします。
例)・$3$点$1$,$1+i$,$-1+i$を頂点とする三角形の周及び内部。
・座標平面における不等式 $y\le x^2$が表す領域。

問題文

左右 $3$ 列，上下 $3$ 行からなる $9$ 個のマス目があり，左から $1$ 列目かつ上から $2$ 行目にあるマス目を $S$ とする。
また，$1$ 辺の長さがマス目の $1$ 辺の長さと等しく，向かい合う $2$ つの面が黒色に塗られた立方体を $C$ とする。

最初，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なるように $C$ を置く。そして操作 (＊) を次のように定める。

(＊)　$C$ が置かれているマスに隣り合うマス（斜めに隣り合うマスは除く）のうちどれか $1$ つを無作為に選び，
そのマスに $C$ の側面が完全に重なるように，$C$ の $1$ 辺を軸にして $C$ をたおす。

$n$ を正の整数とする。操作 (＊) を $n$ 回行ったとき，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なっている確率を $p_n$ とする。
$$
\lim_{n\to\infty} p_{2n}
$$を求めよ。

解答形式

半角数字・記号で解答。

問題文

$p$ を $3$ 以上の素数とする。
$f(x),\ g(x)$ はいずれも整数係数の多項式である。
$f(x),\ g(x)$ が次の条件を全て満たすとき，
存在しうる $f(x),\ g(x)$ の組み合わせは何通りあるか。

$(a)$　$f(g(x)) = x^{p^p} + 1$

$(b)$　$f(0)$ が $p$ で割り切れる。

$(c)$　$1 \le g(0) \le p^{p}$

解答形式

pを用いて解答。答えのみの解答で構いません。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して

$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$

とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

$(2)$　点 $w$ が虚軸上を動くとき，点 $f(w)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

範囲を文章や不等式で表せば可とします。
例)・$3$点$1$,$1+i$,$-1+i$を頂点とする三角形の周及び内部。
・座標平面における不等式 $y\le x^2$が表す領域。

問題文

$r$ を正の実数とし，自然数 $n$ に対して，整式 $f_n(x)$ を

$$
f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{r^{k}}
$$

とする。また，整式 $f_n(x)$ を整式 $x^{2}-x-1$ で割った余りを $a_n x + b_n$ とする。

$(1)$　数列 {${a_n}$},{${b_n}$}の一般項をそれぞれ求めよ。

$(2)$　数列 {${a_n}$},{${b_n}$} がいずれも $0$ でない実数に収束するために正の実数 $r$ が満たすべき条件を求めよ。
　　また，そのときの極限値をそれぞれ $r$ を用いて表せ。

解答形式

特に指定しません。

問題文

座標平面上の原点と点 $(2,2)$ を結ぶ線分（端点を含む）を $L$ とする。また，実数 $t$ に対して $t$ 以下の最大の整数を $[t]$ で表す。

次の (＊) が成り立つような実数の組 $(a,b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ。

(＊)　関数 $y=[ax+b]$ のグラフと $L$ がただ一つの共有点を持つ。

解答形式

$(a,b)$に関する必要十分条件を解答しても可とします。

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，点 $(0,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の球面を $S$ とする。
$S$ 上の $x>0,\ y>0,\ z>1$ を満たす部分に点 $P$ をとり，$P$ において球面 $S$ と接する平面を $L$ とする。
また，平面 $L,\ xy$ 平面，$yz$ 平面，$zx$ 平面によって囲まれる部分を $D$ とする。
$D$ の全ての面に内接する球の半径を $r$ として，$r$ のとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

$r$ はrで表す。根号は「√」を用いる。その他記号は全て半角で入力。
(例) √3<r<5　　√3<=r<=5