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問題文
$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$
とおく。$\alpha, \beta$ は
$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$
を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。
(1) $f(1+i)$ がとりうる範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。
(2) $\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。
(3) $P(\alpha), Q(\beta)$ とおく。$f(1+i)$ が実数，かつ $f(1), f(i)$ がともに $-2$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき，線分 $PQ$（端点を含む）が通りうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
⑴、⑶については、どんな図形になるかを解答すれば可とします。
例)原点を中心とする半径1の円(周と内部を含む)。
問題文
$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式
$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$
が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．
$S(1)$ を求めよ．
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、3+√3+π/2
問題文
$O$ を原点とする座標空間において，点 $A(1,0,0)$ を通り，$\overrightarrow{\ell}=(1,1,1)$ に平行な直線を $\ell_0$,
$\overrightarrow{m}=(0,0,1)$ に平行な直線を $m_0$ とする．
また，円$$
C:\ x^2+y^2=1,\ z=0
$$上に相異なる２点 $L,M$ をとる．
点 $A$ が点 $L$ に一致するような $z$ 軸周りの回転移動によって$\ell_0$ が移る直線を $\ell_1$ とし，点 $M$ を通り $m_0$ に平行な直線を $m_1$ とする．
さらに，２直線 $\ell_1,m_1$ に対し，$\ell_1$ 上に点 $P$，$m_1$ 上に点 $Q$ を，
線分 $PQ$ の長さが最小となるようにとる．
ただし，$\ell_1,m_1$ が交わるとき，線分 $PQ$ はその交点であるとする．
相異なる２点 $L,M$ が円 $C$ 上を動くとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする．$K$ の体積を求めよ．
解答形式
答のみで構いません。
新着問題
問題文
関数
$$
y = x \log(1 + x)\quad (x \ge 0)
$$
の逆関数を
$$
y = f(x)\quad (x \ge 0)
$$
とする．
また，関数 $g(x)$を
$$
\begin{aligned}
g(x+1) &= g(x), \\
\int_{0}^{1} g(x)\,dx &= 1
\end{aligned}
$$
を満たす連続関数とする．
正の整数 $n$ に対して，次の極限値を求めよ．
$$
\lim_{n \to \infty}
\int_{0}^{e-1} f(x)\,g(nx)\,dx
$$
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問題文
正の整数 $n$ に対し，関数 $f_n(x)$ を
$$
f_n(x)=x\lfloor \dfrac{n}{x}\rfloor
$$
で定める．ただし，$x>0$ とする．
また，実数 $t$ に対し，$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す．
⑴ 方程式 $
f_n(x)=n$ が正の実数解を無限個もつことを示せ． また，$f_1(x)=1$ の正の実数解を，値が大きい順に
$$
a_1,a_2,a_3,\ldots
$$
とするとき，
$$
\lim_{m\to\infty}\sum_{k=m}^{2m} a_k
$$
を求めよ．
⑵ 座標平面における $y=f_n(x)$ のグラフのうち，$
\dfrac{1}{2}\le x\le 1
$ を満たす部分の長さの総和を $S_n$ とする．
このとき， $$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n}
$$を求めよ．
解答形式
証明は入力せず、答えのみで良いです。
⑴の答えは1行目、⑵の答えは2行目に いずれも左詰めで入力してください。
入力例)
π 、√π、2e/3、log7 (自然対数)、(3+√2)π、5e√2、log10_2 (常用対数)
問題文
$O$ を原点とする座標空間において，点 $A(1,0,0)$ を通り，$\overrightarrow{\ell}=(1,1,1)$ に平行な直線を $\ell_0$,
$\overrightarrow{m}=(0,0,1)$ に平行な直線を $m_0$ とする．
また，円$$
C:\ x^2+y^2=1,\ z=0
$$上に相異なる２点 $L,M$ をとる．
点 $A$ が点 $L$ に一致するような $z$ 軸周りの回転移動によって$\ell_0$ が移る直線を $\ell_1$ とし，点 $M$ を通り $m_0$ に平行な直線を $m_1$ とする．
さらに，２直線 $\ell_1,m_1$ に対し，$\ell_1$ 上に点 $P$，$m_1$ 上に点 $Q$ を，
線分 $PQ$ の長さが最小となるようにとる．
ただし，$\ell_1,m_1$ が交わるとき，線分 $PQ$ はその交点であるとする．
相異なる２点 $L,M$ が円 $C$ 上を動くとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする．$K$ の体積を求めよ．
解答形式
答のみで構いません。
問題文
$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。
点 $f(1+i)$ が複素数平面上でとりうる範囲の面積を求めよ。
解答形式
問題文
$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$
とおく。$\alpha, \beta$ は
$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$
を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。
$\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項を無理にまとめる必要はない。項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、 3√3+2√2/3+1/3
問題文
$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式
$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$
が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．
$S(1)$ を求めよ．
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、3+√3+π/2