Auro
問題文
$O$ を原点とする座標空間において，点 $A(1,0,0)$ を通り，$\overrightarrow{\ell}=(1,1,1)$ に平行な直線を $\ell_0$,
$\overrightarrow{m}=(0,0,1)$ に平行な直線を $m_0$ とする．
また，円$$
C:\ x^2+y^2=1,\ z=0
$$上に相異なる２点 $L,M$ をとる．
点 $A$ が点 $L$ に一致するような $z$ 軸周りの回転移動によって$\ell_0$ が移る直線を $\ell_1$ とし，点 $M$ を通り $m_0$ に平行な直線を $m_1$ とする．
さらに，２直線 $\ell_1,m_1$ に対し，$\ell_1$ 上に点 $P$，$m_1$ 上に点 $Q$ を，
線分 $PQ$ の長さが最小となるようにとる．
ただし，$\ell_1,m_1$ が交わるとき，線分 $PQ$ はその交点であるとする．
相異なる２点 $L,M$ が円 $C$ 上を動くとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする．$K$ の体積を求めよ．
解答形式
答のみで構いません。
問題文
$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。
点 $f(1+i)$ が複素数平面上でとりうる範囲の面積を求めよ。
解答形式
問題文
$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$
とおく。$\alpha, \beta$ は
$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$
を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。
$\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項を無理にまとめる必要はない。項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、 3√3+2√2/3+1/3
問題文
$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式
$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$
が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．
$S(1)$ を求めよ．
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、3+√3+π/2
問題文
$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式
$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$
が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．
(1) $D_1$ を $ab$ 平面上で求めよ．また，$S(1)$ を求めよ．
(2) $\displaystyle \pi<\lim_{k\to\infty}S(k)<2\pi$ を示せ．
(3) 連立方程式の解がさらに $x=y$ を満たすような点 $(a,b)$ の存在する領域を $E_k$ とする． $k$ が $1$ 以上のすべての実数値をとるとき，$E_k$ が通りうる範囲を $ab$ 平面上で求めよ.
解答形式
特に指定しません。
問題文
$a,b$ を正の整数とする．$2$ 以上の整数 $n$ に対して $n=ab$ と表せるような $(a,b)$ の組について，$a+b$ の最小値を $f(n)$ とする．
例えば, $f(5)=6,\ f(12)=7$ である．
(1) $n$ を正の整数とする．$f\bigl(2\cdot 3^{n}\bigr)$ を $n$ を用いて表せ．
(2) $a,b$ を正の整数とする．方程式
$$
f\bigl(2\cdot 3^{a}\bigr)=f\bigl(4\cdot 3^{b}\bigr)
$$の解が存在するかどうかを，理由を付けて判別せよ．存在するならば、その解を全て求めよ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
左右 $3$ 列，上下 $3$ 行からなる $9$ 個のマス目があり，左から $1$ 列目かつ上から $2$ 行目にあるマス目を $S$ とする。
また，$1$ 辺の長さがマス目の $1$ 辺の長さと等しく，向かい合う $2$ つの面が黒色に塗られた立方体を $C$ とする。
最初，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なるように $C$ を置く。そして操作 (＊) を次のように定める。
(＊) $C$ が置かれているマスに隣り合うマス（斜めに隣り合うマスは除く）のうちどれか $1$ つを無作為に選び，
そのマスに $C$ の側面が完全に重なるように，$C$ の $1$ 辺を軸にして $C$ をたおす。
$n$ を正の整数とする。操作 (＊) を $n$ 回行ったとき，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なっている確率を $p_n$ とする。
$$
\lim_{n\to\infty} p_{2n}
$$を求めよ。
解答形式
半角数字・記号で解答。
問題文
$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。
$(1)$ 点 $f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
$(2)$ 点 $w$ が虚軸上を動くとき，点 $f(w)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
範囲を文章や不等式で表せば可とします。
例)・$3$点$1$,$1+i$,$-1+i$を頂点とする三角形の周及び内部。
・座標平面における不等式 $y\le x^2$が表す領域。
問題文
$r$ を正の実数とし，自然数 $n$ に対して，整式 $f_n(x)$ を
$$
f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{r^{k}}
$$
とする。また，整式 $f_n(x)$ を整式 $x^{2}-x-1$ で割った余りを $a_n x + b_n$ とする。
$(1)$ 数列 {${a_n}$},{${b_n}$}の一般項をそれぞれ求めよ。
$(2)$ 数列 {${a_n}$},{${b_n}$} がいずれも $0$ でない実数に収束するために正の実数 $r$ が満たすべき条件を求めよ。
また，そのときの極限値をそれぞれ $r$ を用いて表せ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
$O$ を原点とする座標空間において，点 $(0,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の球面を $S$ とする。
$S$ 上の $x>0,\ y>0,\ z>1$ を満たす部分に点 $P$ をとり，$P$ において球面 $S$ と接する平面を $L$ とする。
また，平面 $L,\ xy$ 平面，$yz$ 平面，$zx$ 平面によって囲まれる部分を $D$ とする。
$D$ の全ての面に内接する球の半径を $r$ として，$r$ のとりうる値の範囲を求めよ。
解答形式
$r$ はrで表す。根号は「√」を用いる。その他記号は全て半角で入力。
(例) √3<r<5 √3<=r<=5
問題文
平面上に $2$ 本の平行な直線 $l_1,\ l_2$ がある。
ある $2$ 以上の整数の組 $(x, y)$ に対して，直線 $l_1$ 上に互いに異なる $x$ 個の点 $A_1, A_2, \dots, A_x$，直線 $l_2$ 上に互いに異なる $y$ 個の点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ をとり，
点 $A_1, A_2, \dots, A_x$ のそれぞれに対して，点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ のいずれか $1$ 点を選んで線分で結ぶ（合計 $x$ 本の線分を引く）。また，引かれた $x$ 本の線分同士の交点のうち
直線 $l_2$ 上にない交点の個数を $C(x, y)$ と表す。
（例えば， $C(2, 2)$は$0,1$のいずれかの値をとり、$C(3, 2)$は$0,1,2$のいずれかの値をとる。また，直線 $l_2$ 上にない交点が存在しない場合，$C(x, y)=0$ とする。）
ただし，直線 $l_2$ 上にない点が，$3$ 本以上の線分の同一の交点になることはないものとする。
$(1)$ $C(5, 4)=0$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。
$(2)$ $C(5, 4)=1$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。
$(3)$ $C(5, 4)=2$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。
$(4)$ $C(5, 4),\ C(8, 5)$ の最大値をそれぞれ求めよ。
$(5)$ $n$ を $2 $以上の整数，$m$ を $n$ 以上 $2n$ 以下の整数とする。
$C(m, n)$ の最大値を $m, n$ を用いて表せ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$
とおく。$\alpha, \beta$ は
$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$
を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。
(1) $f(1+i)$ がとりうる範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。
(2) $\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。
(3) $P(\alpha), Q(\beta)$ とおく。$f(1+i)$ が実数，かつ $f(1), f(i)$ がともに $-2$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき，線分 $PQ$（端点を含む）が通りうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
⑴、⑶については、どんな図形になるかを解答すれば可とします。
例)原点を中心とする半径1の円(周と内部を含む)。