Auro

問題文

左右 $3$ 列，上下 $3$ 行からなる $9$ 個のマス目があり，左から $1$ 列目かつ上から $2$ 行目にあるマス目を $S$ とする。
また，$1$ 辺の長さがマス目の $1$ 辺の長さと等しく，向かい合う $2$ つの面が黒色に塗られた立方体を $C$ とする。

最初，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なるように $C$ を置く。そして操作 (＊) を次のように定める。

(＊)　$C$ が置かれているマスに隣り合うマス（斜めに隣り合うマスは除く）のうちどれか $1$ つを無作為に選び，
そのマスに $C$ の側面が完全に重なるように，$C$ の $1$ 辺を軸にして $C$ をたおす。

$n$ を正の整数とする。操作 (＊) を $n$ 回行ったとき，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なっている確率を $p_n$ とする。
$$
\lim_{n\to\infty} p_{2n}
$$を求めよ。

解答形式

半角数字・記号で解答。

問題文

$p$ を $3$ 以上の素数とする。
$f(x),\ g(x)$ はいずれも整数係数の多項式である。
$f(x),\ g(x)$ が次の条件を全て満たすとき，
存在しうる $f(x),\ g(x)$ の組み合わせは何通りあるか。

$(a)$　$f(g(x)) = x^{p^p} + 1$

$(b)$　$f(0)$ が $p$ で割り切れる。

$(c)$　$1 \le g(0) \le p^{p}$

解答形式

pを用いて解答。答えのみの解答で構いません。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して

$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$

とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

$(2)$　点 $w$ が虚軸上を動くとき，点 $f(w)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

範囲を文章や不等式で表せば可とします。
例)・$3$点$1$,$1+i$,$-1+i$を頂点とする三角形の周及び内部。
・座標平面における不等式 $y\le x^2$が表す領域。

問題文

$r$ を正の実数とし，自然数 $n$ に対して，整式 $f_n(x)$ を

$$
f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{r^{k}}
$$

とする。また，整式 $f_n(x)$ を整式 $x^{2}-x-1$ で割った余りを $a_n x + b_n$ とする。

$(1)$　数列 {${a_n}$},{${b_n}$}の一般項をそれぞれ求めよ。

$(2)$　数列 {${a_n}$},{${b_n}$} がいずれも $0$ でない実数に収束するために正の実数 $r$ が満たすべき条件を求めよ。
　　また，そのときの極限値をそれぞれ $r$ を用いて表せ。

解答形式

特に指定しません。

問題文

座標平面上の原点と点 $(2,2)$ を結ぶ線分（端点を含む）を $L$ とする。また，実数 $t$ に対して $t$ 以下の最大の整数を $[t]$ で表す。

次の (＊) が成り立つような実数の組 $(a,b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ。

(＊)　関数 $y=[ax+b]$ のグラフと $L$ がただ一つの共有点を持つ。

解答形式

$(a,b)$に関する必要十分条件を解答しても可とします。

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，点 $(0,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の球面を $S$ とする。
$S$ 上の $x>0,\ y>0,\ z>1$ を満たす部分に点 $P$ をとり，$P$ において球面 $S$ と接する平面を $L$ とする。
また，平面 $L,\ xy$ 平面，$yz$ 平面，$zx$ 平面によって囲まれる部分を $D$ とする。
$D$ の全ての面に内接する球の半径を $r$ として，$r$ のとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

$r$ はrで表す。根号は「√」を用いる。その他記号は全て半角で入力。
(例) √3<r<5　　√3<=r<=5

問題文

平面上に $2$ 本の平行な直線 $l_1,\ l_2$ がある。
ある $2$ 以上の整数の組 $(x, y)$ に対して，直線 $l_1$ 上に互いに異なる $x$ 個の点 $A_1, A_2, \dots, A_x$，直線 $l_2$ 上に互いに異なる $y$ 個の点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ をとり，
点 $A_1, A_2, \dots, A_x$ のそれぞれに対して，点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ のいずれか $1$ 点を選んで線分で結ぶ（合計 $x$ 本の線分を引く）。また，引かれた $x$ 本の線分同士の交点のうち
直線 $l_2$ 上にない交点の個数を $C(x, y)$ と表す。
（例えば， $C(2, 2)$は$0,1$のいずれかの値をとり、$C(3, 2)$は$0,1,2$のいずれかの値をとる。また，直線 $l_2$ 上にない交点が存在しない場合，$C(x, y)=0$ とする。）
ただし，直線 $l_2$ 上にない点が，$3$ 本以上の線分の同一の交点になることはないものとする。

$(1)$　$C(5, 4)=0$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。

$(2)$　$C(5, 4)=1$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。

$(3)$　$C(5, 4)=2$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。

$(4)$　$C(5, 4),\ C(8, 5)$ の最大値をそれぞれ求めよ。

$(5)$　$n$ を $2 $以上の整数，$m$ を $n$ 以上 $2n$ 以下の整数とする。
　　$C(m, n)$ の最大値を $m, n$ を用いて表せ。

解答形式

特に指定しません。

問題文

2 以上の整数 $n$ に対して

$$
I_n = \int_{n\log n}^{\,n\log(n+1)} x \sin \frac{1}{x}\,dx
$$

と定める。極限値

$$
\lim_{n\to\infty} I_n
$$

を求めよ。

解答形式

半角数字で1行目左端に解答してください。
根号やπを含む場合は
√3、√(3+π)、(3+√3)π
のように解答し、
分数を含む場合は、通分によって1つの項にして
(3+√3)/3、(3+√3)π/3、のように解答してください。

問題文

$n, k$ を正の整数とし，

$$
A_n = n! + k^2 + 2k + 2
$$

とする。$1 \le k \le 100$ の範囲で，次の (＊) を満たす $k$ を全て求めよ。

(＊)　$A_n$ が平方数となる $n$ が少なくとも$1$つ存在する。

解答形式

$k$の値を半角数字で、小さい順に$1$行目から各行左詰めで入力してください。
例)
1
3
5

問題文

$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して

$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$

とおく。$\alpha, \beta$ は

$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$

を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。

(1)　$f(1+i)$ がとりうる範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。

(2)　$\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。

(3)　$P(\alpha), Q(\beta)$ とおく。$f(1+i)$ が実数，かつ $f(1), f(i)$ がともに $-2$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき，線分 $PQ$（端点を含む）が通りうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

⑴、⑶については、どんな図形になるかを解答すれば可とします。
例)原点を中心とする半径1の円(周と内部を含む)。

問題文

面積 $1$ の正六角形 $H$ がある。次の操作 (＊) を $1$ 回行うとき，得られる $D$ の面積の期待値を求めよ。

(＊)　$H$ の $6$ つの辺から無作為に $3$ つの異なる辺を選び，それぞれの辺上に点をとる。この $3$ 点がそれぞれの辺上（頂点を含まない）を動くとき，この $3$ 点を頂点とする三角形の重心の動きうる範囲を $D$ とする。

解答形式

・数字や記号「+」｢-」は半角で入力。
・小数表記は不可。分数を含む場合、分子/分母　のように入力。例)1/3
・根号を含む場合、√3のように入力。

問題文

$m$ を 0 でない実数とする。座標平面上の放物線
$C: y=\dfrac{1}{m}x^{2}$ は次の条件を満たす。

条件：直線 $y=mx+m$ に関して対称な位置にある異なる 2 点 $P, Q$ を放物線 $C$ 上にとることができる。

(1)　$m$ のとりうる範囲を求めよ。

(2)　$m$ が (1) の範囲を動くとき，線分 $PQ$（端点を含む）の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

解答形式

⑵は領域を表す方程式を解答しても良いです。ただし、境界を含むか含まないかについて明記すること。

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，$xy$ 平面上の $O$ を中心とする半径 $1$ の円を考える。
この円を底面とし，点 $A(0,0,2)$ を頂点とする円錐の表面（底面を含む）を $S$ とする。

$(1)$　座標空間内の点 $P$ と点 $Q$ が次の条件$(a)$,$(b)$,$(c)$をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲 $V$ の体積を求めよ。

$(a)$　点 $P$ は $S$ 上にある。

$(b)$　点 $Q$ は $xy$ 平面上にある。

$(c)$　$OP = PQ$

$(2)$　点 $B(1,0,0)$ をとる。$S$ を直線 $AB$ の周りに $1$ 回転して得られる回転体 $W$ の体積を求めよ。

解答形式

$(1)$の解答を$1$行目左端に、$(2)$の解答を$2$行目左端に入力。
ただし、分数や$π$、根号を含む場合次の(入力例)に従うこと。
(入力例) 8/3　π/2　√6π/7　(1+√3)π　(6-√2)/2

問題文

$p$ は $1<p<2$ を満たす実数とする。関数 $f(x)$ は

$$
f(x)
= p x - \frac{1}{x}
\int_{\frac{1}{\sqrt{p}}}^{\sqrt{p}} \lvert f(t) \rvert \, dt
$$

を満たしている。ただし，自然対数の底 $e$ について，$2.7<e<2.8$ である。

$(1)$　関数 $f(x)$ を求めよ。

$(2)$　$p=\sqrt{e}$ とする。$(1)$ で求めた関数 $f(x)$ について，座標平面における $y=f(x)$ のグラフの $x>0$ の部分に点 $A$，$x<0$ の部分に点 $B$ をとる。
線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。

解答形式

特に指定しません。

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，$2$ 点 $P, Q$ が次の条件をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする。
$K$ の $x^{2}+y^{2}\le 4$ を満たす部分の体積を求めよ。

$(a)$　点 $P$ は平面 $y=0$ 上にある。
$(b)$　$OP = PQ = 2$
$(c)$　線分 $PQ$ は平面 $x=0$ に含まれるか，または平行である。
$(d)$　線分 $PQ$ は $z\ge 0$ を満たす領域に完全に含まれる。

解答形式

特に指定しません。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+a z+1
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $|z|\le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $(a, b)$ に関する必要十分条件を求めよ。

$(2)$　$f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

$(2)$について、$f(1+i)$が動きうる図形を説明すれば可とします。

問題

問題$O$ を原点とする座標空間において，不等式
$$
x^2 + y^2 > 1,\quad z \ge 0
$$
の表す領域を $E$ とする．

また，$1$ 辺の長さが $3$ である立方体（内部を含む）を $S$ とする．

立方体 $S$ が次の（＊）を満たしながら自由に動くとき，立方体 $S$ の通りうる範囲のうち
$z \ge 0$ の部分 $V$ の体積を求めよ．

（＊）立方体 $S$ と領域 $E$ が共有点を持たない．

解答形式

1つの項にして解答
・分数を含む場合
分子/分母　のように解答
※分母に根号を含まない形にすること。
・根号を含む場合
記号「√」を用い、「+」,「-」を含むとき根号の中身全体を()でくくる
　例　√(2+3√2)
・分子、分母が多項式で表される場合
該当する多項式全体を()でくくる
　例　(2+3√2)/2
・πを含む場合　
　例　√2π 「()」は不要
　特に分子にπがあるとき「記号/」の直前にπを記入
　例　3√2π/5、(2+3√2)π/2