Auro

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，2 点 $P, Q$ が次の条件をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする。
$K$ の $x^{2}+y^{2}\le 4$ を満たす部分の体積を求めよ。

(a)　点 $P$ は平面 $y=0$ 上にある。
(b)　$OP = PQ = 2$
(c)　線分 $PQ$ は平面 $x=0$ に含まれるか，または平行である。
(d)　線分 $PQ$ は $z\ge 0$ を満たす領域に完全に含まれる。

解答形式

特に指定しません。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+a z+1
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $|z|\le 1$ を満たしている。

(1)　点 $(a, b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(2)　$f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

⑴はa,bに関する必要十分条件を解答してもよいです。
⑵も同様、必要十分条件を解答してもよいです。

問題

問題$O$ を原点とする座標空間において，不等式
$$
x^2 + y^2 > 1,\quad z \ge 0
$$
の表す領域を $E$ とする．

また，1 辺の長さが 3 である立方体（内部を含む）を $S$ とする．

立方体 $S$ が次の（＊）を満たしながら自由に動くとき，立方体 $S$ の通りうる範囲のうち
$z \ge 0$ の部分 $V$ の体積を求めよ．

（＊）立方体 $S$ と領域 $E$ が共有点を持たない．

解答形式

1つの項にして解答
・分数を含む場合
分子/分母　のように解答
※分母に根号を含まない形にすること。
・根号を含む場合
記号「√」を用い、「+」,「-」を含むとき根号の中身全体を()でくくる
　例　√(2+3√2)
・分子、分母が多項式で表される場合
該当する多項式全体を()でくくる
　例　(2+3√2)/2
・πを含む場合　
　例　√2π 「()」は不要
　特に分子にπがあるとき「記号/」の直前にπを記入
　例　3√2π/5、(2+3√2)π/2