鋭角三角形 $ABC$ があり,辺 $BC$ の中点を $M$ とし,線分 $AC$ 上に点 $D$ を,$\angle CBD=\angle CAM$ を満たすようにとると, $$AD=1,\quad BD=6\sqrt{2},\quad DM=4\sqrt{2}$$ が成立しました.このとき,線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
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$AB=AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり,その外接円上に点 $D(\neq B)$ を,$AC\perp BD$ を満たすようにとると, $$CD=3,\quad AD=7$$ が成立しました.このとき,線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ があり,その外心を $O$ とします.直線 $AO,BC$ の交点を $D$,直線 $BO,AC$ の交点を $E$ とすると, $$BD=6,\quad CD=3,\quad CE:EA=3:4$$ が成立しました.このとき,線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
正三角形 $ABC$ があり,その内部に点 $D$ をとると, $$AD=33,\quad BD=4,\quad \angle ADB=120^\circ$$ が成立しました.線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ があり,その外心を $O$ とし,$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると, $$BD=3,\quad AC=10,\quad \angle ADO=90^\circ$$ が成立しました.このとき,線分 $AD$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください.
一辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ があり,辺 $AB,BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ を三角形 $PQR$ が $PQ=QR$ の直角三角形になるようにとると,五角形 $APQRD$ の周の長さは $36$ であった.このとき五角形 $APQRD$ の面積を解答してください.
外接円 $\Omega$ を持つ鋭角三角形 $ABC$ があり,垂心を $H$ とします.直線 $AH$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でないものを $P$ とすれば, $$BP=HP=15,\quad AH=9$$ が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
円に内接する四角形 $ABCD$ があり,対角線の交点を $E$ とすると, $$BE=CD,\quad AB=16,\quad BD=35,\quad CE=25$$ が成立しました.このとき線分 $AC$ の長さを解答してください.
$AB=15,AC=20$ の鋭角三角形 $ABC$ があり,辺 $AC$ 上に $AB=AD$ となる点 $D$ をとります.線分 $BD$ の中点を $M$ とすると三角形 $ADM$ の外接円は直線 $CM$ に点 $M$ で接したので線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします.直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると, $$DG=BF,\quad AD=9,\quad AF=4$$ が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
三角形 $ABC$ があり重心を $G$ とし,辺 $AB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします.辺 $BC$ 上に点 $P$ をとると $4$ 点$BMGP$ ,$4$ 点 $CNGP$ はそれぞれ共円であり, $$BP=3,\quad CP=5$$ が成立したので線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
$AB<AC$ なる三角形があり,辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば, $$AB=BD,\quad AM=3,\quad CD=2$$ が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください.
$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について,線分 $AC$ の中点を $M$ とし,内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り,三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする.$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき,線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.