柏陽祭G

$a$を$b$で割った余りを$f(a, b)$とする．
このとき，$\sum\limits _{n=1} ^{10000} f(n!+1, n+1)$の値を求めよ．

$H$高校には一郎，二郎，三郎，...，$n$郎の$n$人の生徒が在籍している．この$n$人が英語と数学の試験を受けたとき，英語の分散が2，数学の分散が8，英語と数学の相関係数が0.5であった．
$1 \leq k \leq n$を満たす自然数$k$について，$\vec{a}$の第$k$成分は$k$郎の英語の平均値との偏差，$\vec{b}$の第$k$成分は$k$郎の数学の平均値との偏差となるように$\vec{a}, \vec{b}$を定義する．
このとき，$\vec{a}$と$\vec{b}$の内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$を求めよ．

10進数における$10!$を$n$進数に変換したときの末尾につく0の数を $f(n)$ とする．このとき，$\sum\limits_{n=2}^\infty f(n)$を求めよ．

1辺4の正三角形の内部に点$P$をとる．
点$P$の各辺からの距離をそれぞれ$a, b, c$と置いたとき， $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{a}\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$が成り立ったから$a^2+b^2+c^2$ の値を求めよ．ただし，答えは互いに素な自然数$a, b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$の値を答えよ．

長方形$ABCD$がある．$BC$上に点$E$を，$CD$上に点$F$を以下の式が成り立つように取る．\
$\angle BAE=\angle CEF$，$\angle AFD=2\angle CEF$，$DF=2$，$CF=\sqrt{5}-2$が成り立つとき，$\angle DAF$の値を度数法で求めよ．

$p, q$を素数とする．自然数$N=p^6-q^6$と表され、相違なる素因数をただ3つもつとき，$N$の値を求めよ．

12色で，正八面体の各頂点を全ての頂点が異なる色になるように塗るとき，色の塗り方は何通りあるか求めよ．ただし，回転して一致するものは同じものと数える．

問題文

外心をOとする△ABCがあり線分BC上に点Dをおくと以下が成立した.
AD=CD, BD-CD=15, OB=24, OD=9
このときABの長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

AB=15, AC=24の鋭角三角形ABCがあり内心をI, 垂心をHとすると
4点BCHIは同じ円Γ上にあった.このとき円Γの半径の長さの2乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

整数$x, y, z$は$0<x<28,0<y, 0\leq z<20$ と $37x-13y=2z$ を共に満たします。このような整数の組$(x,y,z)$はいくつあるでしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし，空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を
$$S \cup T = U，S \cap U = \phi$$となるよう定めたところ，$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました．このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい．

たとえば，
$$S = \{1, 2, ..., 9\}，T = \{10, 11, 12\}$$であるなら，$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され，$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

問題文

△ABCの外心をOとする. AOを直径とする円とAB, ACの交点のうちAでないものを
それぞれD,EとするとDE=3, CD=5であり四角形BCEDは内接円を持ちました.
このとき△ABCの面積を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．