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三角形ABCとDEFにおいて AB=DF,BC=DE,∠B=63°,∠C=30°,∠D＝171° であるとき,∠Eの角度を求めてください。
非負整数を半角で入力してください。
AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。 AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、 ABの長さを求めよ。
半角で回答して下さい。
$p^2-pq-q^2+p+q=0$ を満たす素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総和を求めてください．
半角数字で入力してください。
式1の時、式2の解を求めよ。 ただし、数の小さい順に答え､ 答えが２つ以上ある場合､「,」を用いること。 例 2分の1と1の時は､1/2,1
$$ 4a^{2}-4a=-1 $$
$$ (2a-2)^{10000} $$
2024年は閏年なので、2024年M月D日という日付が存在するような$(M,D)$の組は366組存在します。このような組のうち、 $$\frac{2024}{M・D}$$ が整数となる組の個数を求めてください。
$AD$ と $BC$ が平行であるような等脚台形 $ABCD$ において，$AB, BC, CD, DA$ の中点を $K, M, N, O$ ，$AC$ と $BD$ の交点を $E$ としたとき，以下が成り立ちました． $$ MO=24 NE=\dfrac{\sqrt{1115}}{2} KO=20 $$このとき，四角形 $NEKO$ の面積としてあり得る値の総和を求めてください．
答えは正整数になるので，半角数字で解答してください．
にゃんこ大戦争には，$10$ 体の基本キャラが存在します．そのキャラを図鑑と同じ順番で，$1, 2, \ldots , 10$ と番号を付けます．今、$1$ 番のキャラ(ネコ)が $512$ 体一列に並んでおり，以下の操作を $511$ 回行います．
最終的に，番号が $10$ であるキャラ(ネコ超人)が残るような、操作の行い方(順番)は $N$ 通りあります．$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．
答えは正の整数値になるので、それを半角数字で解答してください。
一辺の長さが $12$ の正方形 $ABCE$ の外部に点 $D$ を、三角形 $CDE$ が正三角形になるようにとります。 正方形 $ABCE$ の外接円と直線 $DE$ の交点のうち $E$ でない方を $F$ とするとき、$AF^2$ の値を解答してください。
アルファベット $9$ 文字 $A, I, K, M, N, O, R, S, U$ には相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の正整数が入ります． を満たすとき，$A, I, K, M, N, O, R, S, U$ は一意に定まるので，これを順に解答してください．
カンマやスペースなどを入れず，半角数字のみで解答してください． 例えば，$A=1, I=2, \ldots, U=9$ のとき，$123456789$ のように解答してください．
$N, E, K, O$ には，$1$ 以上 $9$ 以下の相異なる正整数が入ります． $$ N\times{E}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}=K\times{O}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O} $$を満たすとき，$N+E+K+O$ としてあり得る値の最大値と最小値の積を求めてください．
答えは正整数になるので，半角数字で解答してください。
通常のサイコロを，素数の目が $2$ 回出るまで振り続けます．振った回数が $10$ 以下の素数である確率は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p+q$ を解答してください． 通常のサイコロとは，$1$ から $6$ までの目が存在し，それらが等確率に出現するサイコロを指します．
半角数字で解答してください．
$$2^p+q^2=5r$$ を満たす $100$ 以下の素数の組 $(p,q,r)$ 全てにおいて，$pqr$ の総和を求めてください．
