$AB=DC=2,AD=3,AC=\sqrt{17}$を満たす等脚台形$ABCD$の面積を求めよ。
互いに素な正整数$a,b$と平方因子を持たない正整数$c$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}$と表せるので、$abc$を解答してください。
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正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。
互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。
円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。
0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。
正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。
a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。 (例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合 →1 2 3 4 5
アルファベット $9$ 文字 $A, I, K, M, N, O, R, S, U$ には相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の正整数が入ります. を満たすとき,$A, I, K, M, N, O, R, S, U$ は一意に定まるので,これを順に解答してください.
カンマやスペースなどを入れず,半角数字のみで解答してください. 例えば,$A=1, I=2, \ldots, U=9$ のとき,$123456789$ のように解答してください.
$N, E, K, O$ には,$1$ 以上 $9$ 以下の相異なる正整数が入ります. $$ N\times{E}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}=K\times{O}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O} $$を満たすとき,$N+E+K+O$ としてあり得る値の最大値と最小値の積を求めてください.
答えは正整数になるので,半角数字で解答してください。
いま,「飛翔の武神・真田幸村」「覚醒のネコムート」「大狂乱のネコライオン」(以降真田・ムート・ライオンと表記)がおり,$3$ キャラが同じ距離をそれぞれ一定速度で移動します.最初,$3$ キャラは真田,ライオン,ムートの順に速く,真田とライオンの所要時間の差と,ライオンとムートの所要時間の差の比は $6:5$ でした.しかし,ムートの本能が解放され,移動速度が $10$ 上がると,真田,ムート,ライオンの順に速くなり,真田とムートの所要時間の差と,ムートとライオンの所要時間の差は $11:10$ になりました. このとき,本能解放後のムートの速度としてあり得る最小の正整数値を求めてください. ただし,他のキャラの速度も正整数値であるとします.
答えは正整数値となるので,半角数字で解答してください.
自然数$a,b,c,d$は $$ a\neq b $$ $$ (a+b)(a-b)+(ad-bc)=0 $$ $$ bc-a^2=1 $$ を満たしています.このとき $$ \frac{c-d}{a-b} $$ の取り得る値を全て求めてください.
半角数字で解答してください.複数ある場合は小さい順に一行ずつ入力してください. Ex:答えが「1」と「-$\frac{3}{89}$」と「100」のとき -3/89 1 100 と解答してください.
${}$ 西暦2025年問題第5弾です。今回は覆面算風味の整数問題です。けれども、独特な解き心地があります。単一解であるのを前提にして構いませんので、じっくりと味わってください。
${}$ 解答は指定の積をそのまま入力してください。 (例)105 → $\color{blue}{105}$
$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,その外心を $O$ ,垂心を $H$ とします.直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき,以下が成立しました.$$AP=8,AH=7$$このとき,三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.
半角数字で入力してください。
図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。
四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。 例)$\frac{52}{3}$→17.33
$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める. \begin{aligned} &a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\ &b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots) \end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ. (2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.