問題文
数列 {${a_n}$} を以下のように定義する。
$$ a_{n+3} = a_{n+2}+ a_{n+1} - a_n,\quad a_1 = \alpha,\ a_2 = \beta, a_3 = \gamma $$
ただし、$\alpha,\ \beta,\ \gamma\ $は実数である。
- $n$ が奇数のとき、$a_n$ は $n,\ \alpha,\ \gamma\ $のみで決定する（つまり$\ \beta\ $に依らない）ことを示せ。
- この数列 {${a_n}$} の一般項を求めよ。
解答形式
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
注意
解説は正解者のみに公開される設定になっています。ヒントもほとんど解説みたいなものなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。（勿論、解答の再投稿も歓迎します。）
本問の場合、ヒント1~3が1.の、4~6が2.のヒントになっています。
もし余裕があれば...
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問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
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例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
（もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）- この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
- ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
- ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？
ヒント1
1
与えられた漸化式は
$$a_{n+3} - a_{n+1} = a_{n+2} - a_n \tag{1}$$
と変形できる。
ヒント2
数列 {$A_n$} を
$$ A_n = a_{2n-1} $$
と定義すると、$(1)$式より
$$ A_{n+2} - A_{n+1} = A_{n+1} - A_n$$
ヒント3
したがって
$$ A_{n+1} - A_{n} = A_{n} - A_{n-1} = \cdots =A_2 - A_1$$
$A_2 = a_3 = \gamma,\ A_1 = a_1 = \alpha$ なので、
$$ A_{n+1} - A_{n} = \gamma - \alpha $$
ヒント4
2
$\ a_n\ $は、 $b_{n} = a_{n+1} - a_n$ と定義すれば、
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k
$$
ヒント5
与えられた漸化式を
$$a_{n+3} - a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$$
のように変形する。上式は
$$ b_{n+2} = b_{n} $$
と書き直せる。
ヒント6
$b_{n}=b_{n-2}=b_{n-4}=\cdots\ $と下限まで落とすことができる。
下限は $n$ の偶奇によって異なり、
$$b_n =
\begin{cases}
b_1 & (n=\mathrm{odd})\\
b_2 & (n=\mathrm{even})
\end{cases}
$$
