問題文
数列 {${a_n}$} を以下のように定義する。
$$ a_{n+3} = a_{n+2}+ a_{n+1} - a_n,\quad a_1 = \alpha,\ a_2 = \beta, a_3 = \gamma $$
ただし、$\alpha,\ \beta,\ \gamma\ $は実数である。
- $n$ が奇数のとき、$a_n$ は $n,\ \alpha,\ \gamma\ $のみで決定する（つまり$\ \beta\ $に依らない）ことを示せ。
- この数列 {${a_n}$} の一般項を求めよ。
もし可能なら...
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- 解ける学生のレベルは？
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- 各設問の面白さ（改善点）は？etc..
ヒント1
1
与えられた漸化式は
$$a_{n+3} - a_{n+1} = a_{n+2} - a_n \tag{1}$$
と変形できる。
ヒント2
数列 {$A_n$} を
$$ A_n = a_{2n-1} $$
と定義すると、$(1)$式より
$$ A_{n+2} - A_{n+1} = A_{n+1} - A_n$$
ヒント3
したがって
$$ A_{n+1} - A_{n} = A_{n} - A_{n-1} = \cdots =A_2 - A_1$$
$A_2 = a_3 = \gamma,\ A_1 = a_1 = \alpha$ なので、
$$ A_{n+1} - A_{n} = \gamma - \alpha $$
ヒント4
2
$\ a_n\ $は、 $b_{n} = a_{n+1} - a_n$ と定義すれば、
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k
$$
ヒント5
与えられた漸化式を
$$a_{n+3} - a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$$
のように変形する。上式は
$$ b_{n+2} = b_{n} $$
と書き直せる。
ヒント6
$b_{n}=b_{n-2}=b_{n-4}=\cdots\ $と下限まで落とすことができる。
下限は $n$ の偶奇によって異なり、
$$b_n =
\begin{cases}
b_1 & (n=\mathrm{odd})\\
b_2 & (n=\mathrm{even})
\end{cases}
$$
