問題文
数列 {an} を以下のように定義する。
an+3=an+2+an+1−an,a1=α, a2=β,a3=γ
ただし、α, β, γ は実数である。
- n が奇数のとき、an は n, α, γ のみで決定する（つまり β に依らない）ことを示せ。
- この数列 {an} の一般項を求めよ。
もし可能なら...
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ヒント1
1
与えられた漸化式は
an+3−an+1=an+2−an
と変形できる。
ヒント2
数列 {An} を
An=a2n−1
と定義すると、(1)式より
An+2−An+1=An+1−An
ヒント3
したがって
An+1−An=An−An−1=⋯=A2−A1
A2=a3=γ, A1=a1=α なので、
An+1−An=γ−α
ヒント4
2
an は、 bn=an+1−an と定義すれば、
an=a1+n−1∑k=1(ak+1−ak)=a1+n−1∑k=1bk
ヒント5
与えられた漸化式を
an+3−an+2=an+1−an
のように変形する。上式は
bn+2=bn
と書き直せる。
ヒント6
bn=bn−2=bn−4=⋯ と下限まで落とすことができる。
下限は n の偶奇によって異なり、
bn={b1(n=odd)b2(n=even)
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解答提出
この問題は出題者ジャッジの問題です。
出題者が解答を確認してから採点を行います。
